第九章 第四节
一、选择题
1．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1
的方程是( )
A．3x＋4y－1＝0
B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0 C．3x＋4y＋9＝0
D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 [答案] D
[解析] 设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0. ∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切， ∴|－4＋m|3＋4
2
2
＝1.
∴|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9.
∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.
2．(文)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( ) A．相切 C．相交过圆心 [答案] B
|2×1－2－5|
[解析] 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝5<6.且
2
2＋12×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．
(理)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ) A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 [答案] C
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．
B．相交但直线不过圆心 D．相离
圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝
11＋k
2
≤1<2.所以直线与圆相交，故选C．
3．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A．33 C．3 【答案】 B
【解析】 本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．
B．23 D．1
设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝3， ∴弦长|AB|＝23.
4．(2014·湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 C．9 [答案] C
[解析] 本题考查了两圆的位置关系．
由条件知C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r1＝1，r2＝25－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m＝9.
B．19 D．－11
|－5|3＋4
2
2
＝1.
5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)，作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则△PAB的外接圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 [答案] D
[解析] 作图知P、A、B、O四点在以PO为直径的圆上，故圆心为(2,1)，半径为r＝5，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
B．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
6．在直线y＝2x＋1上有一点P，过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线与圆x2＋y2－2x＝0有公共点，则点P的横坐标取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 122C．[－，－]
55[答案] C
3
[解析] 过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线的斜率是k＝，设点P(x0,2x0＋1)，
43
其方程是y－2x0－1＝(x－x0)，由圆心(1,0)到直线的距离小于或等于1可解得．
4
二、填空题
7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得弦长为________． [答案] 22 [解析] 本题考查直线与圆的知识，画出示意图，
B．(－1,1) 122
D．(－，－) 55
构造直角三角形求解． 由C(0,2)及直线y＝x知，CE＝则OE＝22－2＝2，
2
＝2，而CO＝2， 2
∴弦长为22.
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． [答案] 22 [解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想． 点(3,1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN|＝2，则弦长为2
4－2＝22.
9．(文)(2014·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．
[答案] (x－2)2＋(y－1)2＝4
[解析] 本题考查圆的标准方程的求法，结合图形．
∵圆心在x－2y＝0上，设圆心(2b，b)，由圆与y轴相切， ∴r＝2|b|
又截x轴弦长23，圆心到x轴距离d＝|b| ∴在Rt△CAB中，r2＝4b2＝b2＋(3)2，∴b2＝1 又圆C与y轴正半轴相切． 故b>0，∴b＝1.
∴方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
(理)(2014·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．
依题意，圆心O(0,0)到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于1|a||b|2圆周的，即＝＝1×sin45°＝，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.
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三、解答题
10．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[解析] (1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0， 得圆心坐标C(－1,2)，半径r＝2， ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零． 设直线l的方程为x＋y＝a，