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福鼎一中高一年段数学培优教材第五讲 平面向量（1）
一、基础知识：
1．向量的运算： 加法：AB?BC?AC; 减法：AB?AC?CB;????????????????设a?(x1,y1),b?(x2,y2)则a?b?(x1?x2,y1?y2)
????????????设a?(x1,y1),b?(x2,y2)则a?b?(x1?x2,y1?y2)
???????? 实数与向量的积： 向量?a与a的关系； 设a?(x,y),则?a?(?x,?y)(??R)
????2???222|a|?x?y,|?a|?|?|?|a| a?a?a?|a|
向量的数量积： a?b?|a|?|b|?cos?(?是a与b的夹角）； 设a?(x1,y1),b?(x2,y2)
??????????则a?b?x1x2?y1y2
2．向量的关系： ①不等关系： ||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| |a?b|?|a|?|b| （注意等号的条件） ②设a?(x1,y1),b?(x2,y2),b?0 则a?b?a??b,??????????????????????a?b?x1y2?x2y1?0
???? a?b?a?b?0;??a?b?x1x2?y1y2?0
??????a3．平面向量的基本定理：如果e1,e2是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量，
有且只有一对实数?,?，使a??e1??e2。
相关结论：如果e1,e2是同一平面内的不共线向量，且?e1??e2?0，则????0
????????????????????????????? 点O、A、B、C在同一平面内，A、B、C共线的充要条件是：OA?xOB?yOC(x?y?1)
??2?2???24．常用公式： (a?b)?a?2a?b?b中点，G为重心， 则AB?BC?CA?0;二、综合应用：
例1：求证：三角形的三条中线交于一点。
?????2?2(a?b)?(a?b)?a?b ?ABC中，M为BC边的?????1?????????????????????AM?(AB?AC);GA?GB?GC?0
2??????????????????????????????OA?OB?OC?OM例2：设?ABC外心为O，取点M，使
垂心、重心在一条直线上。
，求证M是?ABC的垂心，且此三角形的外心、
????????3例3：在三角形ABC中，点M分AB所成的比为2，点N分AC所成的比为，设线段CM和BN交于点P，
2????????????????????直线AP和BC的交点为Q，且AB?a,AC?b，用a,b表示AP;AQ
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???????????????例4：已知O为?ABC内一点，?AOB?150,?BOC?90，设OA?a,OB?b,OC?c,且
????????|a|?2,|b|?1,|c|?3，试用a,b表示c。
例5：（1）已知?ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若PA?PB?PC?AB，则点P在（ ）
A ?ABC内部 B ?ABC外部 C 在直线AB上 D 在直线AC上 （2）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ABAC????[0,??).则P的轨迹一定通过△ABC的 OP?OA??(???????|AB||AC|?????????????????????????????（ ） D．垂心
?????????????????????????（3）在四边形ABCD中，设AB?a，BC?b，CD?c，DA?d，若a?b?b?c?c?d?d?a，则
该四边形一定是（ ） A 矩形 B 正方形 C 菱形 D等腰梯形
A．外心 B．内心
???C．重心
三、强化训练：
1． 已知A、B、C三点在同一直线上，O在直线外，OA?a，OB?b，OC?c，且存在实数k，使
?????????????????????a?2kb?5c?0成立，求点C分BA所成的比?及k的值。
????????????OA??OB????2． 若P分有向线段AB所成的比为?,(???1)，则有OP?。
1????????3． 已知a?(1,2),b?(?3,2)，当k为何值时：（1）ka?b与a?3b平行？平行时是否同向？
（2）ka?b与a?3b垂直？
4．如图，在平行四边形ABCD中,AH?HD,BF?MC?????????
AM,MH,AF,MD
??????????????????????1BC,设AB?a,AD?b,以a,b为基底表示4DCMHA?????????????BF5． 设O为?ABC内一点，且满足OA?2OB?3OC?0，求S?ABC:S?AOC
6．?ABC中，M是AB的中点，E是CM的中点，延长AE交BC于F，作MH∥AF，求证：BH= HF =FC。
7．如图，在平面斜坐标系xOy中,?xOy?60?，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若
op?xe1?ye2，其中e1,e2分别为与x轴y轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为(x,y). 若p点斜坐标为（2，－2），求p到O的距离|PO|；
8．已知向量u?(x,y),v?(y,2y?x)的对应关系用v?f(u)表示。（1）证明：
??????y????o60?x????????对任意向量a,b及常数m,n，恒有f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)成立； （2）设a?(1,1),b?(1,0)，求
向量f(a),f(b)的 坐标。 （3）求使f(c)?(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标。
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参考答案： 例1：略
??????????????????????????????????????????????2????2例2：AM?BC?(OM?OA)(OC?OB)?(OC?OB)(OC?OB)?OC?OB?0 ???????????????????????????????????????GA?GB?GB?0,?OA?OG?OB?OG?OC?OG?0,??????????????????????????OA?OB?OC?3OG,?OM?3OG,?O,M,G三点共线。
说明：?ABC外心为O，取点M，使OA?OB?OC?OM成立的充要条件是 M为?ABC的垂心 例3：AP?4a?5b,AQ??4a?5b
?????????????????????????????31333,),C(?,?) 2222B
例4： 如图建立直角坐标系：A(2,0),B(? a?(2,0),b?(???31?333,),c?(?,?) 2222O C ???设c??a??b????3,???33
例5：（1）D （2）B （3）A 强化练习： 1．k?3,???2．略 3．（1）k??4．AM?a?5． 3
6．OP?2e1?2e2?|OP|?2 7．（2）f(a)?(1,1),A 1 613反向 （2）k?19
????????1??????1???????1?3?????b,MH??a?b,AF?a?b,MD??a?b4444???????????????f(b)?(0,?1) （3）c?(2p?q,p)