自 觉 遵 守 考 场 纪 律 名 如姓 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效 号学东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）
课程名称 几何与代数B 考试学期
09-10-2
得分
适用专业
电类专业
考试形式
闭卷
考试时间长度 120分钟
一. （30%）填空题
1. 若A???a1?1b?,B???01??，且(AB)2?A2B2，则a,b满足条件 a?b；
???10?2. 设2阶方阵A?(?,?)，B??2???,??3??，若B?AC，则矩阵C? ??21???13?；
?3. 直线??x?y?3z?2 x?2y?z?1的一个方向向量为 线?(5,4,3) ； 4. 点P(1,1,1)到平面x?2y?2z?3的距离是
23；
?5. 如果向量组???1??1???,???1??a??1??,????2??线性相关，则参数a满足条件 a?1；
? 封?a????a????1??6. 向量????1??在R2的基????1??,????3??下的坐标是 ?4?；?2??1??2????1?
?7. 如果?1?是矩阵?2a? ?密?11?的属于特征值b的特征向量，则 (a,b)? (0,2) ； ?1????8. 假设A是2?2矩阵，若可逆矩阵P?(?,?)满足P?1AP???10??02?，Q????,??，则Q?1AQ? ??20??01?；
?9. 假设A是2?2矩阵，若A?E,A?E都不可逆，则行列式A?2E? 3； 10. 若A???TT1,?2,?,?n?是n?n正交矩阵，则B??1?1??2?2????r?Tr (1?r?n)的特征多项式是 ?n?r(??1)r。
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?211??1?11???二. （10%）设A??101?，B???。已知XA?B?X ，求 X。
012???111???解：X(A?E)?B，X?B(A?E)?1，……………………………………………………4
1??111???1212????A?E??1?11?，(A?E)?1??12?120?，……………………………4
?110??10?1?????0??01X???……………………………………………………………………2 51??22?2???x1????x2????x3???????????x4?1??????????x????x?????????2x?1?234三. （14%）设线性方程组?。
2x?3x??ax????????4x?b234?1??3x1?5x2???x3?(a?6)x4?51． 当参数a,b满足什么条件时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？ 解：
?1??0?2??3?1111?123a451a?61??1??1??0?b??0???5???01111??1??1?121??0?1a?22b?2??0???2?2a?32???01111??1?121?
0a?10b?3??00a?10??……………………………………………………………………………………………………3 有唯一解?a?1；……………………………………………………………………………2 有无穷多解?a?1,b?3；…………………………………………………………………2 无解?a?1,b?3。…………………………………………………………………………2
2．有无穷多解时，求方程组的通解。
有无穷多解时，a?1,b?3
?1??0?0??0?111?1000012001??1??1??0?0??0???0???002?11?120000000??1?………………………………………………2 0??0???x1??2x3?x4故通解为：?，x3,x4是任意常数。………………………………………3
x?1?x?2x34?2共 4 页 第 页
?1?11??200?????4?2?,B??020?。若A与B相似， 四. （14%）假设矩阵A??2??3?3a??00b?????1. 求参数a,b的值；
若A?B，则trA?trB,A?B，即a?5?b?4,6(a?1)?4b，…………2 故a?5,b?6。……………………………………………………………………2 2. 求一可逆矩阵P，使得PAP?B； ??1?11??11?1?????A?2E??22?2???000?
??3?33??000??????1故(A?2E)x??有基础解系?1?(1,0,1)T,?2?(0,1,1)T；………………….4
??5?11??1?1?1?????A?6E??2?2?2???032?
??3?3?1??000?????故(A?2E)x??有基础解系?3?(1,?2,3)T；………………………………..2
?101???所以，可以令P???1,?2,?3???01?2?…………………………………2
?113???3. 证明存在矩阵C,使得A?C。 令M?diag(2,2,6)，C?PMP 则，C?(PMP)?PMP2?122?1?12?PBP?1?A…………………………….…2
?x2?2y?0五. （10%）设?1是抛物线?绕y轴旋转所得曲面，?2是平面x?2y?z?4。
?z?0（1） 求?1的方程；
x2?z2??2y…………………………………………………………………3 （2） 求?1与?2的交线在xOy平面上的投影曲线的方程；
?x2?2y2?2xy?4x?9y?8?0………………………………………….4 ?z?0?（3） 画出由?1、?2所围成的空间有界区域的草图。
（略）…………………………………………………………………………..3
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222六. （12%）假设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?ax3?4x1x3?2x2x3。
1. 求一可逆线性变换x?Cy将f化成其标准形；
2……………………..…………2 f(x1,x2,x3)?(x1?2x3)2?(x2?x3)2?(a?5)x3?y1?x1?2x3?x1?y1?2y3?? 令?y2?x2?x3，即?x2?y2?y3，……………………………..…….……….2
?x?y?y?x3333??222得f(x1,x2,x3)?y1……………………………………..…………2 ?y2?(a?5)y32. 求f的矩阵A，问：当参数a取什么值时，A的特征值都大于零；
?102???A??01?1?…………………………………………………………..………...2
?2?1a???A的特征值都大于零?f的正惯性指数为3?a?5。………………..………..2
3. 如果二次曲面f(x,y,z)?1表示单叶双曲面，问：参数a应满足什么条件？
f(x,y,z)?1表示单叶双曲面?f的正、负惯性指数为2、1?a?5………..2
七. （10%）证明题
1. 假设A是n?n正定矩阵，B是s?n实矩阵，证明：BAB是正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?s。
必要性：若BAB是正定的，则BAB可逆，
从而s?r(B)?r(BAB)?s，故r(B)?s。………………..………….3
T充分性：若r(B)?s，则r(B)?s，即Bx??只有零解。
T对任意x??，Bx??，
TTTTT因A正定，有xBABx?(Bx)A(Bx)?0
所以，BAB是正定的。……………………………….…………..………3
2. 假设A,B都是n?n矩阵，若存在不为零的数x,y使得AB?xA?yB，证明：
TTTTTTAB?BA。
因为AB?xA?yB，所以(A?yE)(B?xE)?xyE， 从而，(A?yE)[11(B?xE)]?E，即(A?yE)?1?(B?xE)，……….…..2 xyxy因此，[1(B?xE)](A?yE)?E，即(B?xE)(A?yE)?xyE xy从而BA?xA?yB，故AB?BA。………………………………………………...2
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