(??i)(??i)?(??i)(??i)(??i)?(??i) i?1?1i?1i?1i?1i?1????i??????????????????共?1个共?1个n1kn1kn1kn1kn1kn1k?(??i)(??i)?(??i)?
i?1?1i?1????i?????????共?1个nnnn1kn1kn1k(??i)(??i)?(??i)?
??i?1i?1i?1上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当?,?,?,?为正无理数且满足条件
????????1时，上述不等式当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，
便可证明．
最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式．
对于???1k,??1k1?1k1k1,????1，得
1k1?1?1?即
????????????????????共?个共?1个????
????1k11k11k1???1???1k
?1??1????1???1
???2?2???2???2
?
???n?n???n???n
于是有
?????iii?1n(??i)?(??i)?i?1i?1nn??(i?1nαi?αi?1n)?(i?i??i?1n)?
i??n?αi?i????(?n)?(?n)??????1 i?1?αi?i?????i?1?i?1?所以
??i?1n?i?i?(??i)(??i)?
??i?1i?1nn上式是两个实数列的赫勒德尔不等式．
对三个实数列情况，即
???????,??????1
iiii?1n令?i这时
??i??(?i
?????i????)???
n
?????????(?iiii?1i?1nn????i?v???i)????
(??i)?(??ii?1i?1n?????v???i)????
v?(???)???(??i)?(??i)i?1i?1nnn??(???)???(??i)i?1n?
(??i)(??i)(??i)?
??i?1i?1i?1nn即赫勒德尔不等式对三个实数列也成立．同理可得赫勒德尔不等式又四个?实数列也成立。
??i?1n?i?i?(??i)?(??i)?
??i?1i?1nn令?i?(?),?i?(?ik1) 这里
1kki1k111??1．则得 kk1?(ai?1n1kki)(?ik1)???i?i?(??)(??ik1)
i?1i?1i?11k1nn1kkin1k1(??i?i)?(??)(??ik1)
i?1i?1i?1nn1kkin1k1当k?k1?2时，上式就是柯西不等式． 由上述不等式可得
?(?i?1ni??i)???i(?i??i)ki?1nk?1???i(?i??i)k?1?
i?1n(??)[?(?i??i)(k?1)k1]?
i?1i?1n1kkin1k1(??)[?(?i??i)(k?1)k1]
i?1i?1n1kkin1k1其中k?1,11??1,(k?1)k1?k，所以 kk1?(?i?1nni??i)k?[(??)?(??)][?(?i??i)]
i?1i?1i?11kknki1knki1kn1kkin1kkin1kk1即
[?(?i??i)]?(??)?(??)
i?1i?1i?1上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．
2.2.2 凸函数
下面我们给出凸函数定义及其性质．
定义2.1 如果函数f(x)满足以下条件：对任意x1和x2，有
f(q1x1?q2x2)?q1f(x1)?q2f(x2)
其中q1?0,q2?0,q1?q2?1，则称f(x)为下凸函数．
如果函数f(x)满足下面条件，对任意的x1和x2有
f(q1x1?q2x2)?q1f(x1)?q2f(x2)
其中q1?0,q2?0,q1?q2?1，则称f(x)为上凸函数．
凸函数的几何意义分别用图２－１和图２－２表示．
下凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在相应弦的下方，而上凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在弦的上方．
显然，当q1?q2?1,q1?0,q2?0,x2?x1时，
x1?q1x1?q2x1?x?q1x1?q2x2?q1x2?q2x2?x2
即
x1?q1x1?q2x2?x2
q1x1?q2x2是x1与x2中间的点．?
反之，当x是x1与x2中间的点时，即x1 q1?x2?xx?x1 ,q2?x2?x1x2?x1有q1?q2?x2?xx?x1??1，且q1?0,q2?0，有 x2?x1x2?x1q1x1?q2x2?x2?xx?x1x1?x2?x x2?x1x2?x1所以闭区间[x1,x2]中所有点均为q1x1?q2x2的形式．反之，q1x1?q2x2也是区间[x1,x2]中的点． 定理2.1 若f(x)是下凸函数，则下面不等式成立： f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)???qnf(xn) 其中qi?0,i?1,2,?,n,q1?q2???qn?1 证明 当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立．现假设k=n时定理成立． 当k=n+1时，令 q1?q2???qn?qn?1?1,qi?0,i?1,2,?,n?1 这时 q1x1?q2x2???qn?1xn?1? ?qn?qn?1?q1x1???qn?1xn?1?(qn?qn?1)?x?xnn?1? ?q?qq?qn?1nn?1?n?所以 f(q1x1?q2x2???qn?1xn?1)? ??qn??qn?1??f?q1x1???qn?1xn?1?(qn?qn?1)??q?qxn?q?qxn?1???? n?1nn?1?n???q1f(x1)???qn?1f(xn?1)?(qn?qn?1) ?qn?qn?1?f?x?xnn?1?? ?q?qqn?qn?1n?1?n?q1f(x1)???qn?1f(xn?1)?(qn?qn?1) ?qn?qn?1f(xn)?f(xn?1)?? ?qn?qn?1?qn?qn?1?q1f(x1)???qn?1f(xn?1)?qnf(xn)?qn?1f(xn?1) 所以定理对k=n+1也成立． 同理，对上凸函数f(x)也有 f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)??qnf(xn) 其中 q1?q2???qn?1,qi?0,i?1,2,?,n 例３ f(x)?lgx由f(x)图形知f(x)?lgx是上凸函数．所以 f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)??qnf(xn) q1?q2???qn?1,qi?0,i?1,2,?,n 令qi?pi,pi?0,i?1,2,?,n，则有 p1?p2???pnn?n?npilgxpxplgx???iiiii??i?1??i?1n lg?n?ni?1?pi?pipi?????i?1i?1?i?1?除去对数符号，得 ?pixii?1nn1?pi?1?(?xipi)i?1nn?pii?1 i如果令pi?1，上式的意义即为算术平均值大于几何平均值． 例４ 设 这时f??(x)?数 f(x)?xlnx 1?0,x?0（以后说明为什么下凸函数f??(x)?0，所以f(x)是下凸函x?pxi?1nniiln?px?pxlnxiiiii?1nnni?i?1?pi?1i?pi?1i?pi?1n i消去 ?p，得 ii?1n