成都七中2010—2011学年上期 2012级半期考试数学试卷（理科参考答案）
一、选择题：1－5：ADBCC 6－10：DABCD 11－12：BD 二、填空题：
x2y2??1； 14．213； 15．1?k?2； 16．1 13．
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三、解答题：
17．解：（1）由题意得：M关于x的对称点M/(?2,?3)，…………………………2分 则l1表示过M且平行于3x?2y?13?0的直线。设l1:3x?2y?b?0，………4分
/?l1过点M/(?2,?3) ?b?0 ……………………………………………………6分
?l1的方程为：3x?2y?0……………………………………………………………7分
（2）?l1∥l2.设l1与l2的距离为d ?d?18． 解：（1）设直线方程为：y?x?b
|13?0|?13……………………12分 13?直线与圆相切，设圆心到直线的距离为d
?d?|b|?2? b??22 …………………………………………………………4分 2?切线方程为：x?y?22?0…………………………………………………………6分
（2）显然直线的斜率存在，且设斜率为k
?直线方程为：y?kx?22 ?直线与圆相切 ?22k?12?2? k??1…………………………………………10分
?切线方程为：?x?y?22?0……………………………………………………12分
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????????????19．解：（1）设P(x,y) AP?(x,y?1);BP?(x,y?1);PC?(1?x,y); ????????????2?AP?BP?k|PC|? x2?y2?1?k[(x?1)2?y2]
? (1?k)x2?(1?k)y2?2kx?k?1?0 （1）…………………………4分
若k?1 方程（1）可化简为：x?1 ，表示垂直于x轴的一条直线………5分
k212)?y2?() 1?k1?kk1,0)为圆心，以||为半径的圆……………………6分 表示以(k?11?k若k?1 方程（1）可化简为：(x?22（2）当k?2时，点P的轨迹方程为：(x?2)?y?1……………………7分
?????????????????AP?BP?(2x,2y)?|AP?BP|?2x2?y2?24x?3……………9分
]10分 ?(x?2)2?y2?1 ?x?[1,3………
?????????|AP?BP|max?6 （当x?3时取得）………11分 ???????? |AP?BP|min?2 （当x?1时取得）……12分
（注：用圆的参数方程求最值也可）
20．证明：显然直线AB的斜率不为0，且斜率可以不存在
?设直线方程为：x?my?b………………………………………………3分
?y2?2px?联立?? y2?2p(my?b) ?y2?2pmy?2pb?0………………6分
?x?my?b?y1y2??2pb 又因为y1y2??p2
p
??2pb??p2 ?p?0 ?b?………………………………………………8分
2pp?直线AB方程为：x?my? 直线恒过(,0)，即为抛物线的焦点……………10分
22?直线AB经过抛物线的焦点…………………………………………………………12分
(注：若设方程为y?kx?b，但没有讨论斜率不存在的情况，只扣2分。)
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?x2?y2?421．解：（1）由题意：联立??(1?k2)x2?2kx?5?0…………2分
?y?kx?1当k??1时，方程有一个解，此时只有一个公共点………………………………4分 当k??1时，??4k2?20(1?k2) 由4k2?20(1?k2)?0? k??点。
5，此时也只有一个公共2? k??1或k??5………………………………………………………………6分 2（或用双曲线的图像求出k也可以）
（2）?l与C的左右两支分别相交于A,B两点
???0 ? ?1?k?1…………………………………………………………8分 ???x1x2?020?16k2 又|x1?x2|?25，……………………10分 ?|x1?x2|?2|1?k|620?16k222k?0或k? ??1?k?1 ?25??5|1?k2|?k?0……………………………………………………………………………12分
?????????????1???22． 解：（1）设向量OF与向量FQ的夹角为? 则S?OFQ?|OF|?|FQ|sin(???)
2?????1????|OF|?|FQ|sin??23…………………………………………………………1分 2????????????????由OF?FQ?m?|OF|?|FQ|cos??m …………………………………………2分 ????????????????43m又|OF|?|FQ|? ?|OF|?|FQ|?cos?sin??tan??43…4分 ?4?m?43 ?1?ta?n?m 3 ???(??,)……5分
43????（2）由题意：点F在x轴正半轴，且F(c,0)，设Q(x1,y1) ?OF?(c,0 )
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????????????FQ?(x1?c,y1)，由OF?FQ?m ?c(x1?c)?(3?1)c2?x1?3c ……6分
又S?OFQ?23?
14343ch?23（h为Q到x轴的距离）?h? ?y1??…7分 2cc?????43?????443又OM?OQ?j?(c,??1) ?M(c,??1 ) ?Q(3c,?)……8分
c3cc?|OQ|?3c2?48或)M?26（当且仅当c?2时等号成立） ?M(2,3c29分 (?2,…1x2y2?1 ?M在椭圆上 ? 设椭圆方程：2?2aa?4x2y2??1……11分 当M(2,3)时，?a?16或a?1(舍) 此时，椭圆方程为：
161222当M(2,?1)
?a2?9?179?17或a2?(舍) 此时，椭圆方程为：22(9?17)2(17?1)2x?y?1…………13分 328?????综上：存在点Q(23,23)或Q(23,?23)使|OQ|最短,此时对应的椭圆分别是：
x2y2(9?17)2(17?1)2??1或x?y?1…………14分 1612328 共 4 页 第 4 页