1.3 二项式定理
知识梳理 1.二项式定理
（1）(a+b)n=___________（n∈N*）.
r（2）(a+b)n的展开式中共有___________项，其中各项的系数Cn(r=0,1,2, …,n)叫做rn-rr___________.式中的Cnab叫做二项展开式的___________.它是展开式中的第_________
项.
（3）(a-b)n=___________; (1+x)n=___________.
2.“杨辉三角”与二项式系数的性质
（1）对称性：在(a+b)n的展开式中，___________的两项的二项式系数相等. （2）增减性与最大值：当r＜
n?1时,二项式系数是逐渐___________的，由对称性可知它2的后半部分是逐渐___________的,且在中间取到最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数___________取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数___________相等,且同时取到最大值.
3.各二项式系数的和
012n=_________________. Cn?Cn?Cn??Cn024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?…=________________.
知识导学
学习二项式定理首先要记住二项式(a+b)n的展开式，应该了解展开式各项的如下两个特征：①每一项次数之和为n,②a按降幂排列，从n到0次;b按升幂排列，从0次到n次.其次要掌握二项式展开式的应用要理解二项式的展开式的通项.
在二项式定理中，对a、b赋予不同的值，就得不同形式的组合恒等式，在多项展开式中，系数的和也常用赋值法来求.同时要注意逆向思维的培养，掌握二项式定理的逆用. 疑难突破
1.如何正确区分二项展开式中某一项的二项式系数与系数的概念？
r剖析：两者是不同的概念.Cn (r=0,1,2, …,n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中3除字母外的部分.如（1+2x）7的二项展开式的第4项的二项式系数为C7=35.而其第4项的33系数为C7·2=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理？
剖析：由于(a+b)n=(a?b)(a?b)?(a?b),将(a+b)看作是含有红（a）、白（b）两球的盒子，
???????????n个则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果，而其前面的系数则是这种结果的方法数，如an-rbr是从这n个盒子中取出r个（b）白球、(n-r)个
红
球
的
情
况
，
其
方
法
数
为
rCn，因此有
(a+b)n=
0n1n?1rn?rrnnCna?Cnab???Cnab???Cnb.
3.如何理解赋值法在证明二项式系数的三条性质中的运用？
剖析：事实上，二项式定理给出的是一个恒等式，对于a、b的一切值都成立，因此对一些特定的值也成立.对a、b赋予一些特定的值是解决二项式问题的一种重要思想方法.赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数
0n1n?1rn?rrnnf(a,b)=(a+b)n=Cna?Cnab???Cnab???Cnb,对a、b赋于一定的值，就能得
到一个等式.