即直线EF的斜率为定值，其值为
1。 ．．．．．．．12分 25.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
已知，椭圆C过点A(1,)，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（3） 求椭圆C的方程；
（4） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直
线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
32
（20）解：
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为
19322??1b??b?3，解得，（舍去） 2241?b4bx2y2??1。 ……………4分 所以椭圆方程为433x2y2??1得 （Ⅱ）设直线AE方程为：y?k(x?1)?，代入
2433(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0
23 设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，所以
234(?k)2?12 xF?2 23?4k3 yE?kxE??k ………8分
2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
34(?k)2?12 xF?223?4k3yE??kxE??k
2所以直线EF的斜率KEF?yF?yE?k(xF?xE)?2k1??
xF?xExF?xE2即直线EF的斜率为定值，其值为
1。 ……12分 26．.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1 （1）求椭圆C的方程，
（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 {
OPOM?e（e为椭圆
a?c?1, 解得a=4,c=3,
a?c?7.x2y2??1. 所以椭圆C的方程为
167x2?y122（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,y1),其中x???4,4?.由已知得2?e. 2 x?y3112?7x222222, 而e?，故16(x?y1)?9(x?y). ①， 由点P在椭圆C上得 ，y1?416代入①式并化简得9y?112,
2所以点M的轨迹方程为y??47(?4?x?4),轨迹是两条平行于x轴的线段. 3（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得
OPOM=λ，求点M
?a?c?1,解得a?4,c?3， ??a?c?7x2y2??1 所以椭圆C的标准方程为
167（Ⅱ）设M(x,y)，其中x???4,4?。由已知
OPOM22??2及点P在椭圆C上可得
9x2?1122。 ??2216(x?y)整理得(16?2?9)x2?16?2y2?112，其中x???4,4?。 （i）??3时。化简得9y2?112 4所以点M的轨迹方程为y??47(?4?x?4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。 3x2y2??1，其中x???4,4?
11211216?2?916?23
（ii）??时，方程变形为
4
当0???的部分。
当
3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?4?x?443???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?4?x?4的4部分；
当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；
x221．（2010年高考福建卷理科7）若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1(a>0)的中
a????????心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP?FP的取值范围为 ( )
A. [3-23,??) B. [3?23,??) C. [-【答案】B
77,??) D. [,??) 44
x2y2??1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上2.（1）（2009辽宁卷理）以知F是双曲线
412的动点，则PF?PA的最小值为 。
【解析】注意到A点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F '(4,0), 于是由双曲线定义，得
|PF|－|PF’|＝2a＝4, 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
【答案】9
x2y2??1的中心和左焦点，点P为椭3..（2010福建文）11．若点O和点F分别为椭圆43????????圆上的任意一点，则OP?FP的最大值为
A．2 【答案】C
B．3 C．6
D．8
x02y02x022??1,解得y0?3(1?)， 【解析】由题意，F（-1，0），设点P(x0,y0)，则有434????????????????因为FP?(x0?1,y0)，OP?(x0,y0)，所以OP?FP?x0(x0?1)?y02
????????x02x02)=?x0?3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为=OP?FP?x0(x0?1)?3(1?44????????22 x0??2，因为?2?x0?2，所以当x0?2时，OP?FP取得最大值?2?3?6，选C。
4【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 4.（2010北京文科）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(?2,0)，离心率是(2,0)，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。 解：（Ⅰ）因为
6，3c6，且c?2，所以a?3,b?a2?c2?1 ?a3x2?y2?1 所以椭圆C的方程为3（Ⅱ）由题意知p(0,t)(?1?t?1)
?y?t?2x??3(1?t) 由?x2 得2??y?1?32所以圆P的半径为3(1?t) 解得t??33 所以点P的坐标是（0，?） 22（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2?(y?t)2?3(1?t2)。因为点Q(x,y)在圆P上。所以
y?t?3(1?t2)?x2?t?3(1?t2) 设t?cos?,??(0,?)，则t?3(1?t)?cos??3sin??2sin(??当??
5.（2009浙江理）（本题满分15分）
2?6)
?3，即t?1，且x?0，y取最大值2. 2y2x2已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦
ab长为1．
（I）求椭圆C1的方程；
（II）设点P在抛物线C2：y?x2?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点
M,N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
?b?12a?2?y?解（I）由题意得?b2,??,所求的椭圆方程为?x2?1，
4?2??1?b?1?a（II）不妨设M(xt2,?t1,y1),N(x2,y2),P(则h),抛物线C2在点P处的切线斜率为
y?x?t?2t，直线MN的方程为y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，得
2?h)2?4?，因为直线04x2?(2tx?t2?h)2?4?0，即4?1?t2?x2?4t(t2?h)x?(t422?t?2(h?2)t?h?4?MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有?1?16????0，
x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?， ?22(1?t2)设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?2t?12，由题意得x3?x4，即有t?(1?h)t?1?0，2其中的?2?(1?h)?4?0,?h?1或h??3；
当
h??3时有
h?2?0?h2,?4，
因0此
不等式