浅析幂级数展开式的应用
摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问
题中的应用。
关键词：函数；幂级数；展开式
Analyses the Application of the Power Series Expansions
Abstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems. Key words：function，power series，expansion
目 录
0 引言 .................................................................. 1 1 幂级数的展开 .......................................................... 1
1.1 直接展开法 ....................................................... 1 1.2 间接展开法 ....................................................... 1 2 幂级数展开式的应用 .................................................... 2
2.1 利用幂级数求极限 ................................................. 2 2.2 幂级数在不等式证明中的应用 ....................................... 2 2.3 幂级数在组合恒等式中的应用 ....................................... 3 2.4 应用幂级数求高阶导数 ............................................. 4 2.5 应用幂级数展开式推导欧拉公式 ..................................... 5 2.6 求非初等函数的原函数 ............................................. 5 2.7 利用幂级数求数项级数的和 ......................................... 6 2.8 幂级数在微分方程中的应用 ......................................... 7 2.9 幂级数应用于近似计算 ............................................. 8 3 结束语 ............................................................... 11 参考文献 ................................................................ 11 致谢 ................................................................... 12
浅析幂级数展开式的应用
0 引言
n2形如?an(x?x0)n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x?a(x?x)????的函数项级数称???)?n00?n?0为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算.
1 幂级数的展开
函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法.
1.1 直接展开法
直接展开法是比较麻烦的.首先，函数f(x)的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项Rn(x)?fn?1(?)(n?1)!(x?x0)n?1?0 (n??)，即使在初等函数中也是比较困难的.
1.2 间接展开法
间接展开法是根据函数f(x)的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有：
（1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式； （2）应用逐项求导或逐项积分法；
（3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等； （4）用待定系数法.
这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法.
2 幂级数展开式的应用
幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.
1
2.1[1] 利用幂级数求极限
例1[1] 求极限lim?x?x2ln?1?x?0????1????. x??解 因为
1?11?1?1?1?n?11?ln?1??????????????????1??x?x2?x?3?x?n?23?1???????? ?x?n ?n?1,2,????
所以我们可以得到
?111??2x?xln?1???x?x???x2x???21?1?n?11?1???????????????1??3?x?n?x?23n??1???????????x??
11n?1?????????1??23xn11??1??????? x??n?2又因为
lim??1?x?0n?11?1?????n?x?n?2?0
所以
lim?x?x2ln?1?x?0????1??1???x??2
2.2[2] 幂级数在不等式证明中的应用
x2例2 证明不等式e?e证明 因为
?x?x?2e2 x????. ,???e?x?n?0xn?n! e?x????1?n?0nxnn! x????,???
而
? e?ex?x?2?n?0x2nx2??2n?! 2e2?2?n?0x2n?2n?!!
由于
x2n?2n?!?x2n?2n?!!
2
所以就可以得到
x2e?ex?x?2e2
2.3[3] 幂级数在组合恒等式中的应用
例3 证明??证明 由于
11?2k??2n?2k?n????4 k?0?k??n?k?n ?k?0,1,??2?n?.
??1?4x??12
?1?4x?2?1??1??1????1?????k?1??????k?2??2??2???4?xk
k!??1?3?5??????2k?1???2k xk!k??k?0??k?0??k?0??1?3?5??????2k?1????2k!?kk!k!x
k??k?0?2k?!k!k!x
k??2k?1所以??是1?k??1?4x?2?2k??kk?0??k?x ?展开式xk的系数，同理可得
?2n?2k??2?n?k??1n?k?x是展开式的系数 ????1n?kn?k?????1?4x?2从而得到 又
11?4x?1?4x????4x????
nn?2k??2n?2k?111????k??n?k是?111?4xk?0?????1?4x?2?1?4x?2n展开式xn的系数
3