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高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
六、不等式
1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a?b,c?d，则a?c?b?d（若a?b,c?d，则a?c?b?d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则acn?bdn）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则an?bn或（4）若ab?0，a?b，则b；1a?1ba?；若ab?0，a?b，则
1a?1b。如（1）对
于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a?b,则ac2?bc2；②若ac2?bc2,则a?b；③若a?b?0,则a2?ab?b2；④若a?b?0,则⑥若a?b?0,则a?b；⑦若c?a?b?0,则1aa?1b；⑤若a?b?0,则bc?bba?ab；
ab；（2）已知?1?x?y?1，a?0,b?0。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）
ca??1??） 2?c?a?；⑧若a?b,1?1，则
；（3）已知a?b?c，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______（答：1?3x?y?7）且a?b?c?0,则
的取值范围是______（答：??2,?2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差
的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设a?0且a?1,t?0，比较12logat和logt?1a2的大小（答：当a?1时，
t?124312logat?logat?12（t?1时取等号）；当
1a?20?a?1时，q?2?a?4a?2212logat?loga（t?1时取等号））；（2）设a?2，p?a?，
，试比较p,q的大小（答：p?q）；（3）比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)时，1+logx3＞2logx2；当1?x?43的大小（答：当0?x?1或x?2logx2；当x?43时，1+logx3＜
时，1+logx3＝2logx2）
1x3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A、y?x?y?x?3x?2y?2?3x?4x22的最小值是2 B、
的最小值是2 C、y?2?3x?4x(x?0)的最大值是2?43 D、
xy；（2）若x?2y?1，则2?4的最小(x?0)的最小值是2?43（答：C）
1x?1y值是______（答：22）；（3）正数x,y满足x?2y?1，则
3?22）；
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的最小值为______（答：
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4.常用不等式有：（1）a?b222?a?b?2ab?21?1ab(根据目标不等式左右的运算
结构选用) ；（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；（3）若a?b?0,m?0，则
ba?b?ma?m（糖水的浓度问题）。如如果正数a、b满足
ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________（答：?9,???）
5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：
1n?1n?1?1n(n?1)1k?1?k?1n2?1n(n?1)?1n?11?1n
k?1?k??12k?k?1?k?k?k?1
如（1）已知a?b?c，求证：a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2 ；(2) 已知
222222?（3）已知a,b,x,y?R，且a,b,c?R，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；1alg?1b222,x?y，求证：?lgb?c2?lgxx?a?yy?b；(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：
2222a?bc?a2（5）已知a,b,c?R，求证：ab?bc ?lga?lgb?lgc；
*2?ca?abc(a?b?c)；(6)若n?N，求证：(n?1)?1?(n?1)?n?1?n；(7)1n22已知|a|?|b|，求证：
|a|?|b||a?b|?|a|?|b||a?b|；（8）求证：1?122?132????2。
6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的
积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。（答：{x|x?1或；（2）不等式(x?2)x?2x?3?0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；x??2}）
（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)?g(x)?0的解集为______（答：(??,1)?[2,??)）；（4）要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x?4x?3?0和x?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：[7,222818 )）
7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式
5?xx?2x?32；（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，??1（答：(?1,1)?(2,3)）
ax?bx?21?0的解集为____________（答：(??,?1)?(2,??)）.
则关于x的不等式
8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式42式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)?(2,??)）（4）两边平方：如若不等式|3x?2|?|2x?a|大毛毛虫★倾情搜集★精品资料
|2?3x|?2?|x?；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等|（答：x?R）
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对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。（答：{}）
349、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若loga则a的取值范围是__________（答：a?1或0?a?2323?1，
（答：?x(a?R)ax?111 a?0时，{x|x?0}；a?0时，{x|x?或x?0}；a?0时，{x|?x?0}或x?0}）
aa）；（2）解不等式
ax2提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集
的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax?b?0 的解集为(??,1)，则不等式
x?2ax?b（－1,2）） ?0的解集为__________（答：
11.含绝对值不等式的性质：
a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.
如设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1) 12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______（答：?2?1,??）；（2）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a的取
??值范围_____（答：a?1）；（3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____（答：（
7?12,
3?12））；（4）若不等式(?1)a?2?32n(?1)nn?1对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____（答：[?2,)）；（5）若不等式x?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：m??212）
2). 能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A；
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.
如已知不等式x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围______（答：a?1）
3). 恰成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D；
若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D.
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