?ππ而?n收敛，故?sinn也收敛．
3n?13n?1?(4)∵Un?而?n?1?12?n3?1n?3?1n32 收敛．
1n32收敛，故?n?112?n3??1111?(5)当a>1时，Un?，而收敛，故也收敛． ??nn1?anann?1an?11?a121Un?lim?1?0，级数发散． 当01时，原级数收敛，当0
?2?12?11?ln2?1而?发散，由比较审敛法知?ln2知lim(6)由limx??x?01xn?1nnx1n??2n?1?1n?1?发散．
n!； n3?1n?1?6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：
n2(1) ?n；
n?13?(2)?332333n???????； (3)23n1?22?23?2n?22n?n!(1) ?n
nn?1?n2Un?1?n?1?23n1解：(1) Un?n，lim?limn?1?2??1， n??3Unn??3n3由比值审敛法知，级数收敛．
288
(2) limUn?1n??U?lim?n?1?!3n?1n? nn??31?1?n!?limn???n?1??3n?13n?1?1???所以原级数发散．
(3) U?1n?13nn?2nlimn??U?limnn???n?1??2n?1?3n ?lim3nn??2?n?1??32?1所以原级数发散．
(4) Un?1nlimn?12??n?1?!nn??U?limnn???n?1?n?1?2n?n! n?limn??2??n??n?1???2lim12n???n??e?1?1?1?n??故原级数收敛．
7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：
(1) ???n?5n?1??；
(2)
；
n?1?3n???1n?1?ln?n?1??n2n?1(3) ????n??；
n?1?3n?1?(4) ???n?b??，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．n?1?an?解：(1)limn5nn??Un?limn??3n?1?53?1， 故原级数发散．
(2) limnU?1n??nlimn??ln?n?1??0?1，
289
故原级数收敛．
n?nU?lim?(3)lim??nn??n???3n?1?2?1n?1?1， 9故原级数收敛．
bb?b?n?lim?， (4) limn???a?n??aa?n?nn当ba时，>1，原级数发散；当
babab=a时，=1，无法判定其敛散性．
8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
111(1)1?????；
234ba(2)???1?n?1n?1?1ln?n?1?；
(3) ????11111111??????；
535325335342nn?12(4)???1?； n!n?1?(5)???1?n?1n?1?1n????R?；
n111???1??(6) ??1??????． 23n?nn?1??111?，级数?Un是交错级数，且满足，
nnn?1n?1解：(1)Un???1?n?1??11lim?0，由莱布尼茨判别法级数收敛，又?Un??1是P<1的n??nn?1n?12nP级数，所以?Un发散，故原级数条件收敛．
n?1?(2)Un???1?1ln?n?1??n?11ln?n?1?，
1???1?n?1n?1?1ln?n?1?为交错级数，且
1ln?n?2?1，limn???ln?n?1??0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，
但由于Un?
ln?n?1?1 n?1290
所以，?Un发散，所以原级数条件收敛．
n?1?(3)Un???1?n?1???111?11民，显然，而是收敛的等U??????nnnn5?3n5?3533n?1n?1n?1n?1比级数，故?Un收敛，所以原级数绝对收敛．
n?1?Un?122n?1(4)因为lim?lim???． n??Un??n?1nUn?0， 故可得Un?1?Un，得limn??Un?0，原级数发散． ∴limn??(5)当α>1时，由级数?1收敛得原级数绝对收敛． ?n?1n??当0<α≤1时，交错级数???1?n?1n?11111lim?0，满足条件：；?????n??nnn?n?1??n?1?11发散，所以????nn?1n由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时???1?n?1原级数条件收敛．
Un?0，所以原级数发散． 当α≤0时，limn??111?(6)由于?1?????????
?231n?n1n而?发散，由此较审敛法知级数
1???1??11发散． ??1???????23n?nn?1?111?记Un??1????????，则
?231n?n?n1n?1n? 291
11??11??11Un?Un?1??1??????????2n??nn?1??n?1??2311?1?11??1???????2n?n?n?1??n?1??2311??1?1?11??????????2?n?n?n?1??n?n?1??n?1???23?0
即Un?Un?1
1?111?Un?lim?1?????? 又limn??n??n?21n1??dxn0x3n?11t1由lim?0dx?limt?0 t???tt???1xn111???1??Un?0，知lim由莱布尼茨判别法，原级数??1???????收敛，n??n23n?n?1??而且是条件收敛．
9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．
xn(1) ?，x∈[-3,3]； (2) ?2，x∈[0,1]；
??!n?1nn?1n?1?xn?sinnx(3) ?n，x∈(-∞,+∞)； (4)
3n?1?e?nx，|x|<5； ?n?1n!?(5)
?n?1?cosnx3n?x52，x∈(-∞,+∞)
?3n解：(1)∵
xn?n?1?!?n?1?!?，x∈[-3,3]，
3n而由比值审敛法可知?n?1?n?1?!收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．
1xn(2)∵2?2，x∈[0,1]，
nn 292