江南大学现代远程教育 第三阶段测试卷
时间：90分钟
考试科目:《高等数学》专升本 第七章至第九章（总分100分）
一．选择题(每题4分，共20分)
1. 设f(y?x,)?y?x, 则f(1,?1)? ( d ).
22xy(a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) 0
y2. 设函数 z?x , 则 dz?
b
(a) dz?yxy?1dx?xylnxdy (b) dz?yxy?1dx?xylnxdy (c) dz?yxydx?xylnxdy (d)
dz?yxy?1dx?xy?1lnxdy
3. 若D是平面区域{1?x?y?2}, 则
22??dxdy=( b )
D(a) 2? (b) ? (c) 3? (d) 4? 4. 下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( b )
3(a) xy??y?2 (b) xy??y?cosx (c) yy??2x (d) y?2?xy?1
5. 微分方程 xcosx?sinx?exy?exy??0 的通解是 ( d ) .
(a) 2ye?xsinx?C (b) ye?xsinx?C (c) ye?2xsinx?C (d) ye?xsinx?C
xxxx二.填空题(每题4分，共28分)
6. 设 z?(1?x), 则
y?z?xx?1y?3?__12______
1
7. 设 z?cot(xy), 则
?z2?___ ?xcsc（_____ xy）?yyyy18. 设z?e?xsiny, 则dz?____[?2ex?siny]dx?[ex?xcosy]dy______
xx9. 设 z?(3y?2x)2?exy,则 dz?(?4(3y?2x)?yexy)dx?(6(3y?2x)?xexy)dy_
2?34?x2?34?yyx10. 交换二次积分次序 I?2?3?dx?1xf(x,y)dy=____
2?3?dy?1yf(x,y)dx_________.
d4x11. 微分方程 ?x?3y 的自变量为__y;__未知函数为__x;__ 方程的阶数为__4._
dy412. 微分方程
dyy??0 的通解是_____xy?C ___ dxx三. 解答题 (满分52分)
13. 设 z?z(x,y) 是由方程 2z?x2y?cos(x?z)?0 所确定的隐函数, 求 dz
解：令F(x,y,z)=2z?x2y?cos(x?z)?F=-2xy?sin(x?z)?x?F=-x2?y?F=2+sin(x-z)?z?z2xy?sin(x?z)? ?x2+sin(x-z)
?zx2 ??y2+sin(x-z)?z?z2xy?sin(x?z)x2dz?dx?dy=dx?dy
?x?y2+sin(x-z)2+sin(x-z)
2
14. 求函数 z?xy?x2?y2的极值。
解：令?z?y?2x?0?x?z ?x?2y?0
?y 得x?0,y?0?2z ?22?x
?2z?1?x?y2?z?2 2?y 2×2-1>0 且2>0 所以(0,0)为极小值 Z(0,0)=0
15. 计算
??xydxdy, 其中D是由曲线 xy?1,y?x,y?3 围成的平面区域。
D2解：由xy=1,y=x2 解得x=1,y=1 或x=-1,y=-1 则易得
?y1?=dyxydx?y?dy xydxdy1?2??????1122yy??D3y3
?y21??y31?3131 = ????dy???lny?1=?ln3
132?22y??62?3
16. 计算
??eDx2?y2dxdy, 其中D是由 1?x2?y2?4 确定。
3
解：原式=?2πd??201e??d? =2π?2?de?1 =2π?e?21-2πe?21
=2πe2
17. 求微分方程
dxdy?xx2?y 的通解。解：dydx?x2?yxdydx+yx?x11y?e??xdx(?e?xdxxdx?c)
?1x(?x2dx?c)?1x3x2cx(3?c)?3?x
18. 求微分方程
dydx?yx?1的通解。 解：令yx?uy?xu dydudx=u?xdx 则u?xdu
dx?u?1 du1?2udx=x
4
dudx= 1?2ux?1ln1?2u=lnx L两边积分21 1?2u?c2
xy11?2?c2
xx x2?2xy?c 方法二; （公式法）
11dx?dx???xxy?e??edx?c??? 1xc =?xdx?c??x2x???
19. 求微分方程 y??12y? 满足初始条件 y(1)?1 的解。 2xdy2y1解：??
dxx222dx?1?-dx??xxy?eedx?c???2??1?11??2? =x2??dx?c?x??c??? 22x2x????-x =?cx22y(1)?1
得c?y?3 2?x32?x 225