?F??F??FT?? （38） ?D?D?l(x)?0xbax???y?Dy?Dy?yaxxb它遵循这个事实l(x)被选中这样方程（38）中的m阶和n阶方程为零。这是正确的，因为
???y有一个满秩，剩下可以看成是不独立的，因此方程（38）中其他的n-m阶方程可应
用方程（37）和应用变分法的定理。注意方程（36）现在可以用方程（35）和（38）得到。方程（38）被称为欧拉–拉格朗日方程的约束分式变分问题。
乘数规则也适用于?是一个函数的左导数和右导数的情况。对于一个系统包含多个分数阶导数乘数法则可以以类似的方式。 5.例子
在这部分，我们获得了欧拉–拉格朗日方程无约束和约束的分数阶变分问题。 例1.作为第一个例子，考虑以下无约束的分数阶变分问题：
1?2化简J?y???(0D （39） )dxxy2011)?1 （40） y(0)?0和y(这个例子中??1，结果是y(x)?x，在变分课本中经常被考虑的。它经常那样表示，欧拉–拉格朗日方程
x10x??。 （41） D(Dy)?0它可以表示对于??12，给出的结果是
dty(x)?(2??1)1?? 。 （42） ???(1?t)(x?t)0x例2.作为第二个例子，考虑以下约束的分数阶变分问题：
122化简J?y???y （43） 1?y2dx201??0x1? （44） Dy??y?y,12y0)?1 。 （45） 1(这种整数阶的导数经常在最优化控制课本中讨论。对于这个问题，它可以这样表示，欧拉–拉格朗日方程
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?y?l?D0, （46） 1xll?yl?0。 （47） 2?注意在这两个例子中，最为结果的欧拉–拉格朗日方程必须有左导数和右导数，及时问题中中包含右导数。这些微分方程在文献中并没有太多的研究。发现这些问题结论的方法将会在以后的著作中呈现。
备注.最后，我们想提出以下两个评论。
1.在这里，我们假设终端条件是固定的和函数满足所有的光滑性要求。未指定的结束条件的情况下，未指定的结束点，（横截条件），和分段光滑性（角点条件）将在未来的工作中考虑。
2.这里给出的定理及其证明中给出的那些与标准教科书在变分法方面非常相似。因此，许多古典变分法的概念可以扩展到稍有修改的分数微积分的变分法。事实上，许多系统的描述更准确地用分数阶导数模型减少某些泛函，希望更多的研究会继续在这一领域。 6.结论
欧拉–拉格朗日方程，提出了无约束和约束的分数阶变分问题。所提出的方法和所得到的方程的变分问题的积分阶导数非常相似。在特殊情况下，当这些导数只是整数时，分数变分法的结果由古典变分法得到。事实上，许多系统可以建模更准确地使用分数阶导数模型，希望未来的研究将继续在这领域。
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