2011年北京市中学生数学竞赛
高一年级初赛试题
一、选择题（每小题6分，满分36分）
1．函数f(x)是偶函数且f(?3)??2，则f2(3)?5f(3)?2的值为（ ） （A）-12 （B）16 （C）17 （D）18
2．若图1中给出的函数y?x2?ax?a的图像与x轴只有一个公共点，则a为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）4
x3．函数f(x)?log?1?1x???的零点个数为（ ）
16?16?（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 4．定义在实数集R上的函数f，对于每一个x?R和常数a?0， 都满足方程f(x?a)?12?f(x)?(f(x))2。若函数f的值域记为M，则（ ）
（A）
?7?M （B）23?M （C）2?2?M （D）3?M 5．P为正方形ABCD内一点PA=1厘米，PB=2厘米，PC=3厘米，则△PBC的面积（单位：平方厘米）为（ ） （A）2?22 （B）2?2 （C）2?22 （D）2?2 6．已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程ax2?bx?c?0的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积．（结果用含a,b,c和圆周率?的式子表示）．
7．若二次函数f(x)?ax2?2x?a满足f(2)?f(1)?f(3)?f(0)，试确定实数a的取值范围．
8．如图3，D为△ABC内一点，使得∠BAD=∠BCD，且AB=5，BC=6，M为AC的中点，求DM．
2011年北京市中学生数学竞赛
高一年级决赛试题
一、选择题（满分40分，每小题8分）
1．二次三项式x2?ax?b的根是实数，其中a,b是自然数，且ab?22011，则这样的二次三项式共
有_________个．
2．如图1，在半径为1的圆O中内接有锐角三角形ABC，
H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则 BC=______________． 3．已知定义在R上的函数f(x)?x2和g(x)?2x?2m． 若F(x)?f(g(x))?g(f(x))的最小值为14，则m=_______ 4．tan37.5?=_____________。
5．设f(x)?1?x1?3x，定义f1(x)?f(f(x))，fn(x)?f(fn?1(x))n?1,2,3,?， f2011(2011)?________
二、（满分15分）
D是正△ABC的边BC上一点，设△ABC与△ACD的内心分别为I1,I2，外心分别为O1,O2，求证：(I21O1)?(I2O2)2?(I1I2)2。
三、（满分15分）n是正整数，记n!?1?2?3???n，如1!?1，2!?1?2?2，3!?1?2?3?6，
又记?a?表示不超过a的最大整数，求方程??x??x??x??x??x??1!?????2!?????3!???????10!?????11!???2011的所有正整数解。
四、（满分15分）平面上的n个点，若其中任3个点中必有2个点的距离不大于1，则称这样的n个
点为“标准n点组”。要使一个半径为1的圆纸片，对任意“标准n点组”都能至少盖住其中的25个点，试求n的最小值。