玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷
理科数学
一．选择题(每小题5分，共60分)
x2y2??1}，B?{(x,y)y?3x}，1．设集合A?{(x,y)则A?B的子集的个数是（ A ） 164A．4 B．3 C ．2 D．1
1的共轭复数为（B ） 1?i11111111 A．?i B．?i C．??i D．??i
222222222．复数
3．下列说法正确的是（C ）
A．若命题p,?q都是真命题，则命题“p?q”为真命题
B．命题“若xy?0，则x?0或y?0”的否命题为“若xy?0则x?0或y?0” C．命题“?x?R,2x?0”的否定是“?x0?R,22x0?0”
D．“x??1”是“x?5x?6?0”的必要不充分条件
4．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h的值为（B ） A．3 B．3 C．33 D．53 2?2?x?1,x??15．已知函数f(x)??，且f(a)?2，则实数a的取值范围是（A ）
2x?2,x??1?(??,?2)?(0,??) B．(?2,?1) C．(?2,0) D．(?,?2)?(?1,??) A．
????????6．若|a?b|?|a?b|?2|a|，则向量a?b与b的夹角为（D ）
??5?2? B. C. D. 63 6 3??sin?cos?7．已知??(,)，a?log3sin?，b?2，c?2，则 （ D ）
A．
42A．c?a?b B．b?a?c C．a?c?b D．b?c?a
8．在正项等比数列?an?中，a3?2,a5?8a7，则a10?（D ）
A．
1111 B． C． D． 12851225610249．右边程序运行后，输出的结果为 （C ）
A．
20112012 B．
201220132014 C． D． 201320142015?y?1?10．设变量x,y满足?y?2x?1，若目标函数z?x?y?1的最小值为0，
?x?y?m?则m的值为（B ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，四面体A?BCD中，AB?AD?CD?1，BD?2,BD?CD，平面ABD?平面BCD，若四面体A?BCD的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ C ）
i=1 s=0 p=0 WHILE i＜＝2013 p=i*（i+1） s=s+1/p i=i+1 WEND PRINT s END _B _C _ D_ _A 23? B.3? C. ? D.2? A．32x2y212．已知F1,F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，以
ab 坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当?PF1F2的面积等于a时，双曲线的离心率为 （ A ）
A.2 B.3 C.
26 D.2 24 ． 3二．填空题(每小题5分，共20分)
213．曲线y?x?1与直线x?0,x?1及x轴所围成的图形的面积是 14．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?log2(x?1)?m?1，则f(?3)?－2 ．
15．已知(1?ax)(1?x)的展开式中x的系数为5，则a? －1 16．数列{an}的通项公式an?nsin(
52n?1?)?1，其前n项和为Sn，则S2013= 3019 . 2三．解答题(共70分，解答须写出解题过程和推演步骤) 17．（本题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a?b?5，c?7，且4sin2A?B7?cos2C?. 22A?B7C7?cos2C?得4cos2?cos2C? 2222 (1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积. 17、(1) 解：∵A+B+C=180°由4sin2 ∴4?1?cosC72?(2cos2C?1)? 整理，得4cosC?4cosC?1?0 ????4分 22解 得：cosC?1 ??5分 ∵0??C?180? ∴C=60° ??????6分 2（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab ∴7?(a?b)2?3ab
由条件a+b=5得 7=25－3ab ?? 9分 ab=6??10分 ∴S?ABC?11333 ????12分 absinC??6??222218. （本题满分12分）
在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某4名考生选做每一道题的概率均为
1 . 2（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为?，求?的概率分布列及数学期望. 18. （1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB?AB”，且事件A、B相互独立.
11111??(1?)?(1?)?222. ∴P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)=221B(4,)2. （2）随机变量?的可能取值为0,1,2,3,4，且?～
1k1kk14P(??k)?C4()(1?)4?k?C4()(k?0,1,2,3,4)222∴
∴变量?的分布列为：
? P
0 1 2 3 4
116 14 38 14 116 E??0?
113111?1??2??3??4??2E??np?4??216484162（或）
19.（本题满分12分）
已知在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形， 且AD?2，AB?1，PA?平面ABCD，E、F分 别是线段AB、BC的中点． （1）证明：PF?FD
（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由.
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角A?PD?F的余弦值
?19、解：解法一：（Ⅰ）∵ PA?平面ABCD，?BAD?90，AB?1，AD?2，建立
?如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则
A?0,0,0?,B?1,0,0?,F(1,1,0),D(0,2,0)．…………2分
????不妨令P(0,0,t)∵PF?(1,1,?t)，????????????DF?(1,?1,0)∴PF?DF?1?1?1?(?1)?(?t)?0?0，
即PF?FD．…………………………4分
????????n?PF?0n?x,y,zPFD（Ⅱ）设平面的法向量为??，由??????，得
??n?DF?0?x?y?tz?0，令z?1，解得：?x?y?0???tt?tx?y?．∴n??,,1?． ……………6分
2?22?????1?1?设G点坐标为(0,0,m)?0?m?t?，E?,0,0?，则EG?(?,0,m)，要使EG∥平面
2?2??????1ttt1PFD，只需EG?n?0，即(?)??0??1?m?m??0，得m?t，从而满
222441AP的点G即为所求．……………………………8分 4????????（Ⅲ）∵AB?平面PAD，∴AB是平面PAD的法向量，易得AB??1,0,0?，……9分
足AG?又∵PA?平面ABCD，∴?PBA是PB与平面ABCD所成的角，
??11?PA?1PFD得?PBA?45，，平面的法向量为n??,,1? ……10分
?22????????????AB?n∴cosAB,n???????AB?n162， ?611??1446．………12分 6故所求二面角A?PD?F的余弦值为
解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF?2，DF?2，
222又AD?2，∴ DF?AF?AD，∴ DF?AF ……2分
又PA?平面ABCD，∴ DF?PA，又PA?AF?A， ∴
DF?平面PAF?DF?PF……4分
PF?平面PAF?（Ⅱ）过点E作EH//FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH?再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG?1AD…5分 41AP，∴ 平面41AP的点G即4EHG∥平面PFD …7分 ∴ EG∥平面PFD．从而满足AG?为所求．……………8分
（Ⅲ）∵PA?平面ABCD，∴?PBA是PB与平面ABCD所成的角，且?PBA?45． ∴ PA?AB?1 ………………………………………………………………9分 取AD的中点M，则FM?AD，FM?平面PAD，
在平面PAD中，过M作MN?PD于N，连接FN，则PD?平面FMN， 则?MNF即为二面角A?PD?F的平面角………………………10分
∵Rt?MND∽Rt?PAD，∴ MN?MD，∵PA?1,MD?1,PD?5，且?FMN?90o
PAPD∴ MN??5，FN?6?30，∴ cos?MNF?MN?6 ………12分 5FN65520.（本小题满分12分）
已知定点A(?2,0)，B(2,0)，满足MA,MB的斜率乘积为定值?3的动点M的轨迹为曲线4C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点A的动直线l与曲线C的交点为P，与过点B垂直于x轴的直线交于点D，又已知点F(1,0),试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明。
20.(1)设M(x,y),kMA?kMByy3x2y2????，得C:??1(x??2).………4分 x?2x?2443(2)设AP:x?my?2代入3x2?4y2?12得(3m2?4)y2?12my?0
12m6m2?8,xP?得yP? ………6分
3m2?43m2?4当m??2时,kPF?又得D(2,4m,PF:4mx?(m2?4)y?4m?0, ………8分 2m?4422),PD的中点M(2,)，圆M的半径R?. mm|m||8m?(m2?4)圆心M到时直线PF距离d?2?4m|2m??R，………11分
222|m|16m?(m?4)当m??2,PF:x?1,D(2,?1),d?1?R .
综上，直线PF与BD为辅直径的圆M相切。………12分
21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x (x?0)，且a?0. 1?x（1）若f(x)在x?1处取得极值，求a的值； （2）求f(x)的单调区间；
（3）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。
a2ax2?a?2 21解（1）f'(x)???,………2分 22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.………3分