?x?3e?t (3) ?? ty?2e??x?ft(t) (4) ?? 设f ??(t)存在且不为零??t?y?tf(t)?f(t)12dyyt??1dy(y?t2?1? x)?t??? 解 (1) ??dxxt?txt?tt3dx2dyyt?bcost????bcott? (2)
dxxt??asintabcsc2t2dy(y?bax)?t ? ????xt??asintdx2a2sin3tdyyt?2et2e2t? ???? (3)
dxxt??3e?t32?2e2t?2dy(y?x)?t ??3?t?4e3t? 2xt?9dx?3edyyt?f?(t)?tf??(t)?f?(t)???t? (4)
dxxt?f??(t)d2y(y?1? x)?t ??xt?f??(t)dx2d3y 9? 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数3?
dx?x?1?t2 (1)?? 3y?t?t??x?ln(1?t2) (2)??
y?t?arctant?dy(t?t3)?1?3t2? 解(1)?? ?
dx(1?t2)??2t1?3t2)?(d2y?2t??1(1?3)? ?
?2t4t3tdx2?1(1?3)?3dy?4tt??35(1?t2)? 3?2tdx8t311?dy(t?arctant)?1?t2?1t? ? (2)?2tdx[ln(21?t2)]?21?t1t)?(2dy21?t ? ??22t4tdx1?t2221?t?d3y(4t)t4?1??3?
2tdx38t21?t 10? 落在平静水面上的石头? 产生同心波纹? 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s? 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？
解 设波的半径为r? 对应圆面积为S? 则S??r2? 两边同时对t求导得 S t??2?rr??
当t?2时? r?6?2?12? r?t?6? 故S t?|t?2?2?12?6??144? (米2?秒)?
11? 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中? 其速率为4m2/min ? 当水深为5m时? 其表面上升的速度为多少？
解 水深为h时? 水面半径为r?1h? 水面面积为S?1h2??
24水的体积为V?1hS?1h?1h2???h3?
33412 dV???3h2?dh? dh?42?dV?
dt12dtdt?hdt已知h?5(m)，dV?4(m3/min)? 因此 dh?42?dV?4?4?16(m/min)?
dt?hdt25?25?dt
12? 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中? 开始时漏斗中盛满了溶液? 已知当溶液在漏斗中深为12cm时? 其表面下降的速率为1cm/min? 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ 解 设在t时刻漏斗在的水深为y? 圆柱形筒中水深为h? 于是有 1?62??18?1?r2y?52h?
33yry由?? 得r?? 代入上式得 618311y ?62??18??()2y?52h?
333即 1?62??18?1y3?52h? 333两边对t求导得
2?2?? ?1yy?5ht32当y?12时? y?t??1代入上式得
?1?122?(?1)2 ht??32?16?0.64(cm/min).?
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