中考数学填空题解题技巧
襄阳市诸葛亮中学 韩春见
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是中考数学中的三种常考题型之一，因其叙述简单、概念性强、知识容量大、覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，判断性强，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等，.使得测验信度较高，有利于考查同学们的基础知识和基本技能，有利于培养学生基本的分析和解决问题的能力.
1 中考数学填空题的主要特点
与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，且不需过程, 没有备选答案可供选择，不设中间步骤分, 答案唯一正确.
初中填空题从题型看分为定量型填空题和定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度.当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度只不过是考查有所侧重而已.填空题从类型上一般可分为完形填空型、多选填空型、条件与结论开放型、阅读理解型、实际应用型等填空题，使填空题在考察学生思维能力和分析问题、解决问题的能力提出了更高要求.
在近几年中考中填空题的考查方式和内容也不断创新，方式上，除以填空大题外，在解答题中也有填空题.内容上，不仅考查纯数学计算和概念，而且还考查数学推理、数学应用、数学思想和方法等，这说明填空题的考查功能在不断拓宽.
填空题的解答要求：①是填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；②是对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；③是填空题所填结论要符合初中数学课标要求.中考中的数学填空题一般是容易题或中档题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，解答时考生必须按要求进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，把问题所需要的结论填在空线上.
解答填空题的基本策略是：①准确；②迅速；③规范.准确是解答填空题的先决条件，填空题不需过程，不设中间分，因而容易失分，这就要求考生在解答填空题的过程中，要做到仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是获取高分的必要条件，考生解答填空题的时间，应控制在15分钟左右，要避免因超时影响后续答题现象的发生；规范是保住得分的充分条件，在网上阅卷时规范、整洁显得尤为重要，只有把正确的答案规范、整洁地书写在答题纸上才能有利阅卷教师正确的评分.
下面就以近两年全国中考数学试卷填空题加以分析，旨在引导同学们发现中考填空题的解法，希望能对同学们有所帮助. 2 中考填空题的常见题型 题型1 概念型
有诸多填空题，涉及一些重要的数学概念、公理、定理、公式、性质或一些似是而非、容易混淆的概念和性质，借此考查学生掌握概念的程度.这就需要考生在审题时，特别应注意辨析有关概念的本质特性，从而保证所填答案的正确性.一般说来，这类题目运算量小，侧重判断.常用的方法有：直接法、验证法等.
例1 （2011福建福州）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图1～图3),请根据图表提供的信息,回答下列问题:
(1)图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； (2)图2、3中的a? ,b? ；
数与代数(内容)课时数 统计与概率 5g数与式数与代数
方程(组)45%a
与不等式(组)空间与图形 40%函数44
图1
图2
实践与综合应用课时数 18151813A 一次方程 B 一次方程组 C 不等式与不等式组 D 二次方程 E 分式方程 12963012b3AB图3
CD
解析 对第（1）问，要掌握这样一个公式：扇形的圆心角度数＝扇形的圆心角所占百分比×360°. 图7-1中“统计与概率”所在扇形的圆心角所占百分比为1－45％－5％－40％＝10％，故图7-1中“统计与概率”所在扇形的圆心角度为10％×360°＝36°；对第（2）问要掌握这样两个性质：数与代数课时数＝数与代数的百分比×课时总数；方程(组) 与不等式(组)课时数＝A、B、C、D、E课时数的和.由于数与代数课时数＝45％×380＝171，故a?171－67－44＝60,b?60－18－13－12－3＝14.
评注 概念型试题从知识难度来说相对较小，但由于知识单一，对数学概念、公理、定理、公式、性质的要求较高，对于那些基础不扎实的学生来说，却又加大了问题的难度，造成这些考生不必要的失分现象.如本例，有学生不知道扇形的圆心角度数如何算，不知道在扇形统计图中的百分比就是每部分占总体的百分比.为避免这类错误，这就要求考生在平时学习中，认真解理概念，澄清一些似是而非的认识，区分概念之间的联系与区别，进一步掌握数学概念、公理、定理、性质的基本知识和基本方法，达到熟练而不出现概念错误. 题型2 计算型
这类填空题的特点是：须根据题目条件，通过计算找出正确答案.它主要考查学生对基本概念、法则、定理等的理解及运算能力.计算型填空题分为几何计算和代数计算两种，在计算的过程中，要讲究技巧与方法，在推理的过程中，要注重定义、定理、规律的运用，其常用方法是直接法，即根据题干所给条件，直接经过计算、推理证明，得出正确答案的方法. 例2 （2011黑龙江黑河市）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的
2
高为10cm，则此三角形的面积为 cm． 解析 本题需要分两种情况考虑三角形的形状，一种为锐角三角形，一种是钝角三角形，然后根据勾股定理求得第三边，从而求得三角形面积．略解如下：
设△ABC中AB=20cm，AC=30cm，BC边上的高AD=10cm. 当△ABC为锐角三角形时，如图一.
在直角△ABD中利用勾股定理BD＝
方程(组) 与不等式(组)
EAB2?AD2＝103cm，
同理可求得CD=202cm，所以BC＝（103＋202）cm， 则此三角形面积为
112
×BC×AD＝×（103＋202）×10＝（1002＋503）cm. 22AB2?AD2＝103cm，
当△ABC为钝角三角形时，如图二. 在直角△ABD中，BD＝
同理可求得，CD=202cm，所以BC＝（202－103）cm， 所以此三角形面积为（1002－503）cm.
2
综合可知，此三角形面积为 （1002＋503）或（1002－503）cm.
评注 本题考查了勾股定理和三角形面积的求法.两次运用勾股定理求出第三边，从两种情况来求第三边长，再求三角形面积．通过本题说明：（1）计算型填空题采用直接法时，要求直接由条件出发，根据公式、法则、公理、定理进行计算证明得出正确答案.当然在解答的过程中，可以跳过一些不必要的步骤，尽量采用心算的办法，快速求出问题的答案如在本题计算图二中三角形面积时.（2）运用直接法时要注意避免一些不必要的错误，例如本例就是一道比较基础却很典型的分类讨论型计算题，关键是要分三角形的形状．（3）几何计算题历年来是中考的热点问题.主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算等，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆等的有关计算.解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等. 题型3 应用型
这类试题在解决时，首先要求学生在认真阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型.再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论.
例3 （2011湖北武汉）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水.至12分钟时，关停进水管.在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示.关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完. 解析 本题属应用题中的函数建方程类.方函数）是研究现实世界等量关系的最基本的数学模型，本题考查了学生对文字、图表等信息资料的阅读理解能力，对信息的分检、组合、加工、寻找解决问题的方法的能力，这体现了《新课程标准》的“问题情景——建立模型——解释、应用与拓宽”的数学学习模式.求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，找到容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系，进而解决问题，解此类问题，要注意验证结果是否适合实际问题.
通过分析，本题给出了两段函数图象可知，当0＜x≤4这段函数图象表示只打开进水管进水，则进水速度为20÷4＝5（升/分）；当4≤x≤12这段函数图象表示再打开出水管放水，由于y随x的增大而增大（即成上升趋势）故进水速度大于放水速度，故进水与放水速度差
2
5515（升/分），所以放水速度为5－＝（升/分），所以关44415停进水管后，容器中的水恰好放完，经过的时间为30÷＝8（分钟）.
4为（30－20）÷（12－4）＝
评注 本题利用图象求函数解析式也可解.通过本题说明，在近几年的中考中注重了应用问题的考查与创新，从而使学生体会到数学的“有用性”.试题注意了实际情景的可接受性，试题的背景有贴近实际的市场经济问题和具有发展性、前瞻性的数据的统计与分析等，要注意两点：（1）不管哪种问题情景，考生能将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作.（2）加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的.
题型4 信息迁移型
所谓信息迁移型填空题，就是指以已有知识为基础，进一步引申新的情景或定义新的概念、法等.这样的填空题，往往是先给考生一定容量的新信息，这些信息可能是考生未曾见过的，也可能是课标中某个知识点的延伸或拓宽，然后要求考生依据新信息进行解决问题.
解答此类问题关键在于理解新信息的含义，在此基础上，紧扣新信息的本质，学会把信息语翻译成数学语言和符号语言，从而将新信息转化为课标中提供的知识，便可使问题顺利获解.
例4 （2011甘肃兰州市）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=
BC.AB容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°= .
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 . （3）如图②，已知sinA=
3，其中∠A为锐角，则sadA的值为 . 5解析：通过阅读这段文字知道，该填空题在原有三角函数的基础上，利用三角函数定义法，定义了新的三角函数等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad）.这个定义有两点要求一是求一个角顶角正对，这
个角必须在等腰三角形中；二是顶角正对是一个比值，即等腰三角形中底边与腰的比.
对于第（1）问，设△ABC中，AB=AC，∠A＝60°.
∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB，∴sad60°＝对于第（2）问，设△ABC中，AB=AC， 当∠A＝0°时，则BC＝0，∴sadA＝sad0°＝当∠A＝180°时，则点A在BC上， ∴BC＝2AB，∴sadA＝sad180°＝
BC＝1. ABBC＝0； ABBC＝2； AB3. 5∴对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2. 对于（3）问 ：如图，设在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k， 则AD= AC==4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A＝ ∴DH＝AD×sin∠A＝4k×
3，sin∠A. 531222＝k，∴AH＝AD?DH55164＝k，∴CH＝AC－AH＝k. 55则在△CDH中，CD＝CH?DH22＝
410k， 510CD＝.
5AC于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，由正对定义可得：sadA＝
评注 本题的关键在于读懂顶角正对的含义.这种题以同学们熟悉的数学运算为背景，将数学问题巧妙溶于其中，辐射出浓郁的课改气息，既增强了数学知识的趣味性和挑战性，同时出加强了数学的实用性和拓展生，有利于培养学生的实践能力.
题型5 规律型
规律型问题分为代数规律型和几何图形规律型两种.解决规律型问题的最佳办法是采用“归纳猜想法”：就是当一个问题涉及到相当多、乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情形入手，通过简单情形或特殊情形的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，称为归纳猜想法.
例5 （2011北京市）在右表中，我们把第i行第j列的数记
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5 为ai,j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai,j，
ai,j?1；ai,j?0.例如：规定如下：当i?j时，当i?j时，当i?2，
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 a4,5 j?1时，ai,j?a2,1?1.按此规定，a1,3?_____；表中的25个数
中
，
i,共有_____
1个
i1
2；计算
a1?a1?a,i?a?1a?,a的值为a?ia?a_______. a5,1 aa5,?2 ai?5,3 a5,4 a5,5 解析 本题主要考查数字找规律的方法，难点是对行列对应数
字大小的识别：当i?j时，ai,j?1；当i?j时，ai,j?0.对于a1,3，i＝1,j＝3，符合i?j，故a1,3＝0；对于表中的25个数，有a1,1到a5,5所成对角线左下角（包括这条对角线）共15个数字满足i?j，故这15个数字为1，其它数字为0，所以表中的25个数中有15个数字为1；由i是不大于5的正整数，所以a1,1＝ai,1＝1，又a1,2＝a1,3＝a1,4＝a1,5＝0，故
a1,1?ai,1?a1,2?ai,2?a1,3?ai,3?a1,4?ai,4?a1,5?ai,5＝1.
评注 本题是一道代数找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出的变化规律是难点中的难点，需加强练习. 3 填空题的常用解法 解法1 转化法
所谓转化是指通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，并运用恰当的数学方法加以变换.转化的目的是要达到将复杂化为简单，将未知转化为已知，将抽象转化为具体．转化的关键在于观察，通过观察题目中数、式的变化规律，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中数量关系或变化特征，选出正确的解答方法．
例6 （2011河南省）如图，一次函数y1?k1x?2与反比例函数y2?k2的图象交于点A(4,m)和B(?8,?2)，与y轴交于点C. x（1）k1= ，k2= ；