初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法
甲内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
234
①由 ( － 1) ＝ 1 ，（－ 1 ） ＝－ 1 ，（－ 1 ） ＝ 1 ，??， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
2
三位数从 100 到 999 共900个（9×10），
33
四位数有9×10＝9000个（9×10）， ????
n-1
归纳出n 位数共有9×10(个)
222
③ 由1+3=2, 1+3+5=3, 1+3+5+7=4??
2
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）
乙例题
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
???
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋??n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×
n?1n(n?1), 即个交点。 22
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如
n
5！＝1×2×3×4×5。试比较3与（n+1）！的大小（n 是正整数）
n
解：当n ＝1时，3＝3, （n＋1）！＝1×2＝2
n
当n ＝2时，3＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6
n
当n ＝3时，3＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24
n
当n ＝4时，3＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
n
当n ＝5时，3＝243, （n＋1）！＝6！＝720 ??
nn
猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3＞（n＋1）！，当n>3时3＜（n＋1）！。 例3 求适合等式x1+x2+x3＋?+x2003=x1x2x3?x2003的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个??直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 ????
由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋?+x2003=x1x2x3?x2003的正整数解为x1=x2=x3＝??=x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。
丙练习14
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有
＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。 2． 十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作
100a1+10a2+a3,四位数
a1a2a3a4记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿
＿＿＿＿＿
33233323333
3． 由1＋2＝（1＋2），1＋2＋3＝（1＋2＋3），1＋2＋3＋4
2 323332
＝（＿＿＿）,1＋＿＿＿＿＿＿＝15，1＋2＋?＋n=( )。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①111?1－222?2＝（＿＿＿）；111?1－222?2＝（ ＿＿）。 ????????????????2；
2
10个15个22
2n个1n个22
②111?155?56＝（＿＿＿＿）；11?1155?56＝（＿＿＿）????????????????9位9位n位n位
5． 把自然数1到100一个个地排下去：123??91011??99100
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 6．计算
1111＋＋＋?＋＝
11?1212?1313?1419?20 （提示把每个分数写成两个分数的差）
a+1a
7．a是正整数，试比较a和(a+1)的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。 本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。 本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。
练习 14
1. 3，30，3×102，3×10n-1
2. 10n-1a1+10n-2a2_＋??+10an-1+an
4. ①333332, 333??34?34??? ②33?????， 33?????
n个9位n位2225.①192位，②901位（50个18，加上1） 6. ∵
1119＝－ ??
11?1211122207. a=1,2时，aa+1<(a+1)a ……
8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)
9. 8,24,24,8；
8，4×［（m－2）＋（n-2）+(p-2)］,2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p-2)+(n-2)(p-2)］, (m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334