一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α． A．①②③ C．②③
B．③④ D．①③④
[导学号10710154] 解析：选B．对①，利用定义可知，如果是任意一条直线，则结论成立，否则不成立．对②，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，故正确的是③④．
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边 A．①③ C．②④
B．② D．①②④
[导学号10710155] 解析：选A．由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直，故选A．
3．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，则有( )
A．SG⊥面EFG B．EG⊥面SEF C．GF⊥面SEF D．SG⊥面SEF
[导学号10710156] 解析：选A．∵SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G，
∴SG⊥平面EFG．
4．(2016·西安高一检测)直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是( ) A．a⊥β C．a?β
B．a∥β D．a?β或a∥β
[导学号10710157] 解析：选D．若a?β，b⊥平面β，可证得a⊥b； 若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c?β， 则b⊥c，a∥c， 故b⊥a．
综上可知a?β或a∥β．
5．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
[导学号10710158] 解析：选B．易证AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC． 二、填空题
6．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面__________；直线BD⊥平面__________；直线CD⊥平面__________．
[导学号10710159] 解析：∵△ADB、△ADC都是直角三角形，∴AD⊥BD，AD⊥DC， 又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC． 又AD＝BD＝CD，∴AB＝AC， 又∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形， ∴BC＝AB＝AC，∴∠BDC＝90°，
由直线和平面垂直的判定定理，得BD⊥平面ADC，CD⊥平面ABD．
答案：BDC ADC ABD
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1
所成角的正弦值为________．
[导学号10710160] 解析：连接A1C1(图略)， ∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
∴∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角． 又A1B1＝B1C1＝2，AA1＝1，∴AC1＝3． AA11
在Rt△AA1C1中，sin∠AC1A1＝＝．
AC131答案： 3
8．如图所示，在正方体ABCD?
A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，
若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝__________．
[导学号10710161] 解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1， ∴B1C1⊥MN．
又∵MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M， ∴MN⊥C1M．∴∠C1MN＝90°． 答案：90° 三、解答题
9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．求证：AE⊥BE．
[导学号10710162] 证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE．
又AE?平面ABE，∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF． 又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B， ∴AE⊥平面BCE．
又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
10．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM．
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB． [导学号10710163] 证明：(1)∵AB为⊙O的直径， ∴AM⊥BM．
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM． 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM． 又AN?平面PAM，∴BM⊥AN．
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM． (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB?平面PBM，∴AN⊥PB． 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ．
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ．
1．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° C．45°
B．60° D．30°
[导学号10710164] 解析：选C．如图．设BD∩AC＝O，易知折起后AC⊥平面BOD． 1
∴V＝AC·S△BOD．
3
当BO⊥DO时，S△BOD最大，此时V最大，△BOD为等腰直角三角形，∠DBO＝45°，
即直线BD与平面ABC所成的角为45°．
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是__________．
[导学号10710165] 解析：因为PA⊥平面AC，QD?平面AC， 所以PA⊥QD．又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P， 所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD．
①当0
②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；
③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD．
综上知，a≥2． 答案：[2，＋∞) 3．在正方体ABCD?
A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是
保持AP⊥BD1，则动点P满足的条件是什么？并说明理由．
[导学号10710166] 解：点P在线段B1C上时，可以总是保持AP⊥BD1． 证明如下：连接AC，BD，B1D1，因为ABCD?面ABCD．
又AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC． 又四边形ABCD是正方形， 所以BD⊥AC．
又BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1， BB1∩BD＝B，
A1B1C1D1是正方体，所以BB1⊥平