概率习题课1
一、加法原理和乘法原理在概率中的运用
1. 随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生。问（1）
每个班级分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分在同一班级里的概率是多少？
2. 10把钥匙有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。
3. 某市有50%的住户定日报，有65%的住户定晚报，有85%的住户至少定两种报纸中的一
种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。
4. 设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生的概率是1/3，A发生并且B
不发生的概率是1/9，求B发生的概率。
5. 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7.在两批种子中各随机地抽取一粒，求：（1）
两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率。
二、摸球模型的计算
1. （有放回且记序）有一袋子内装有编号为1-5的5个球，从袋内有放回的任取3个球，
问3个球编号组成奇数的概率。
2. （有放回不记序）匣子内装有颜色为红、白、黑的3个球，有放回不按序选取，问从匣
子内任取2个不同颜色球的概率。
3. （无放回且记序）袋中有1,2，…，N号球各一只，采用（1）无放回；（2）有放回两种
方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。
4. （无放回不记序）100个产品中有3个次品，任取5个，求其次品数分别为0,1,2,3的概
率。
5. 袋中有a只白球和b只黑球，采用（1）有放回；（2）无放回两种方式从中取出n个球，
问恰好有k个黑球的概率各为多少？ 6.
三、随机取数模型的计算
1. （有放回随机取数）从1，2，…，10共10个数中任取一数，设每个数以1/10的概率
区中，取后放回，先后取7个数，求下列事件的概率：（1）A1={7个数全不相同}；（2）
1
A2={不含1和10}；（3）A3={10恰好出现两次}；（4）A4={10至少出现1次}。
2. （无放回随机取数）在十个数字0,1,2，…，9中不重复地任取四个，能排成一个四位偶
数的概率是多少？
四、古典概率的间接计算
1. 事件A，B互不相容，且P(A)=0.3，P(B)=0.7，求P(AB)。
2. 若事件A，B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，求P(A-B)。
3. 设A，B为两个事件，且P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(AB)。
4. 设A与B是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=1/3，P(A|B)=1/6，求P(A|B)。
五、独立事件、条件概率及贝叶斯公式
1. 为防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(I）和(II），每种系统单独使用时，系统(I）
和(II）有效的概率分别为0.92和0.93，在系统(I）失灵的条件下，系统(II）仍有效的概率为0.85，（1）计算两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在(II）失灵的条件下，(I）有效的概率。
2. 三个人独立地破译一种密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3，1/4，问将此密码译出的
概率。
3. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随意取出一件，结果不是
三等品，则取到的是一等品的概率为多少？
4. 某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%。从产品中任取一件为一级品的概
率是多少？
2
5. 某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为3/4，用到10000小时未坏的概率为1/2。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率。
6. 某厂职工中小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度
的有40%。25岁以下青年在小学、初中、高中及以上文蛤程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。（1）求年龄不到25岁的青年职工在该厂所占的比例；（2）从该厂随机抽取一名职工，发现其年龄不到25岁，问他具有小学、初中、高中及以上文化程度的概率各为多少？
7. 某厂有A,B,C,D四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，
18%。若已知这四个车间的次品率分别为0.10，0.05，0.20和0.15，问从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，这件产品是由A,B车间生产的概率各为多少？
六、概率分布
1. 考虑掷两枚硬币的试验。令X表示观察到正面的个数，（1）试求X的概率分布；（2）
X的分布函数；（3）X的数学期望和方差。
2. 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10元奖的概率是1%，抽
中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求（1）此人收益的概率分布；（2）收益的分布函数；（3）此人收益的期望值和方差。
3. 设随机变量X的概率密度为：f(x)?3x3?3,0?x??，（1）求θ的值；（2）求X的分
布函数；（3）求X的数学期望与方差。
4. 设随机变量X的概率密度为：
f(x)?3x2?3,0?x??，（1）P（X>1）=7/8,求θ
的值；（2）求X的分布函数；（3）求X的数学期望与方差。
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5. 一张考卷上5道题目，每道题有4个备选答案，其中有1个答案是正确的。某学生凭猜
测能答对至少4道题的概率是多少？
6. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布P(X?x)?P(X=1)=P(X=2)，求P(X=4)。
7. 设X~N(3,4)，试求：（1）P(-2
8. 一工厂生产的电子管寿命X（以小时计算）服从期望值为160的正态分布，若要求
P(120 9. 一本书出版以后一校时出现错误处数X服从正态分布N(200,400)，求：（1）出现错误 处数不超过230个的概率；（2）出现错误处数在190~210个的概率。 xxn?x10. 二项分布P(X?x)?Cnpq,x?0,1,2,?(q?1?p),求证:E(X)=np，D(X)= npq。 ?xe??x!,x?0,1,2,?，且已知 11. 泊松分布P(X?x)??xe??x!,x?0,1,2,?，,求证:E(X)=λ，D(X)= λ。 12. 若P(A)>0,P(B)>0，证明：（1）当A,B两事件相互独立时，则AB??即A,B相容；（2） 当AB??即A,B互不相容时，有A与B不独立。 4