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北京大学2005 数学专业研究生数学分析
1. 设f(x)?解:
x2sinx?1x?sinx2sinx，试求limsupf(x)和liminff(x).
x???x???x2sinx?1首先我们注意到.f(x)?2sixn在x?sinx 并且在x充分大的时候显然有. 2xsinx?1xsinx sinx?sinx?222sxi?n的时候是单调增的(0,1] .x?sinxx?1x2,所以易知在x???时,limsupf(x)?1.2x???x?1当然此上极限可以 令x?2k???2,k???这么一个子列得到.
sinxx2sin2x对于f(x)的下极限我们注意到.lim?0,而liminf2?0,所以有liminff(x)x???x2?sinxx???x???x?sinx此下极限当然可以
令x?(2k?1)?,k???这么个子列得到.
2. (1)设f(x)在开区间(a,b)可微，且f?(x)在(a,b)有界。证明f(x)在(a,b)一致连续.
证明:设f?(x)在x?(a,b)时上界为M.因为f(x)在开区间(a,b)上可微.
对于?x1,x2?(a,b),由Lagrange中值定理,存在
??(x1,x2),使得f(x1)?f(x2)?f?(?)x1?x2?Mx1?x2.
这显然就是
Lipschitz条件,所以由x1,x2任意性易证明.f(x)在(a,b)上一致收敛.
(2) 设f(x)在开区间(a,b)(???a?b???)可微且一致连续，试问f?(x)在(a,b)是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.f?(x)在(a,b)上是无界的.
设f(x)?(1?x)2,显然此f(x)在[0,1]上是连续的根据.Cantor定理,闭区间上
连续函数一致连续.所以f(x)在(0,1)上一致连续.
-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- 1 -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- 显然此f(x)?(1?x)2在(0,1)上是可微的.f?(x)?1?12(1?x)12.而
f?(x)??12(1?x)12在(0,1)上是无界的.
3．设f(x)?sin2(x2?1). (1)求f(x)的麦克劳林展开式。
(2)求f(n)(0)。(n?1,2,3?)
解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有
f(x)?11?cos[2(x2?1)].再由cosx的Maclaurin展开式有. 22 ???. 又由于
f(x)是偶函数，所以其展开式形式应该为：f(x)?k0?k1x2?k2x4? 比较系数有：k0?0，接下来，若p为奇数，则由
2k22k1?2pk?12(x?1)中x项系数为： f(x)??(?1)2i?1(2k)!?knx2n?
k2p????1???C2pk22k(?1)k?1?1???22k(?1)k?1? ，此时令????2???2?k?p?1(2k)!(2k?p)!p!p?1?2??k?2?????p?1. 22k?p?2t?1,?k?t? 有k2p?2(?1)2p!pp?12???t?122t?1(?1)2(?1)sin2。 ?(2t?1)!2p!2(?1)cos2 。综合得：
2p!pp?12t?1pp?12 同理可得：p为偶数时，k2p?-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- ???f2p(0)?k2p????(n) f(0)?????????2p?1?2p?1(2p)!2(?1)sin?2p为奇数?p!?(p2?)?!pp?1?12(2p)!?2（-1）cos?2p为偶数?p!?2?1 fp(0?)0其中p?1,2,34．试作出定义在R中的一个函数f(x,y)，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）f(x,y)的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续
?xy?x2?y2?0?22 解： f(x,y)??x?y 。显然这个函数在 xy?0 的时候，有偏导
?0?x?y?0?数存在
??fy(x,y)?? ??f(x,y)?x??点也成立。
x(x2?y2)(x2?y2)2y(y2?x2)(x2?y2)2 ，而对于xy?0的时候，有??fy(x,y)?0 ，此式在原
?fx(x,y)?0?2cos?sin? 对于任意方向极限，有limf(?cos?,?sin?)?lim?cos?sin?。
??0??0?2显然沿任意方向趋于原点。
此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向???趋向原点。不妨设
??，??（0，），显然有不同的极限
4 co?ssi?n与c?os。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。 ?si2225．计算xds.其中L是球面x?y?z?1与平面x?y?z?0的交线。
?2L222 解：首先，曲线L是球面x?y?z?1与平面x?y?z?0的交线。因为平面
x?y?z?0过原点，球面x2?y2?z2?1中心为原点。
所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有
-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- ?Lx2ds??y2ds??z2ds。
LL 因此有
?Lx2ds=
112?222(x?y?z)dsds==。 ??LL3336．设函数列{fn(x)}满足下列条件：（1）?n，fn(x)在[a,b]连续且有fn(x)?fn?1(x)（x?[a,b]）
（2）{fn(x)}点点收敛于[a,b]上的连续函数s(x)
证明：{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于s(x)
证法1：首先，因为对任意x0??a,b?,有fn(x0)?S(x0)。且有fn(x0)?fn?1(x0)，所以
?nk，对于任意n?nk，有0?S(x0)?fn(x0)??3。
又因为fn(x)与S(x)在x0点连续。所以可以找到?x0?0，当
x?x0??x0,且x??a,b? 时。有fnk(x)?fnk(x0)? S(x)?S(x0)?有
?3，以及
?3 同时成立。因此，当n?nk，x?x0??x0,且x??a,b? 时，
S(x)?fn(x)?S(x)?fnk(x)?S(x)?S(x0)?S(x0)?fnk(x0)?fnk(x)?fnk(x0)??。
如此，令?x0?{x:x?x0??x0}，所以有开区间族 {?x0:x0??a,b?} 覆盖了
?a,b?区间。
而S(x)在闭区间?a,b?上连续。由Heine-Borel 定理，从开区间族
{?x0:x0??a,b?}中可以选出有限个?x1,?x2,?x3, 使 ?a,b??ki?1?xk，
?xi。由?xi的选法。可由相应?xi与nki，当x??xi?a,b?，且
n?nki时，有S(x)?fn(x)??。
取N?max{nki:1?i?k}，当n?N时，且x??a,b?，有S(x)?fn(x)立。所以{fn(x)}在?a,b?上一致收敛于S(x)。 证毕。
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证法2：反证法.设存在某?0?0，对于任意n，有一xn，使得fn(xn)?S(xn)??0．又{xn}有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在
收敛子列{xnk}收敛于?a,b?中某值x0．因为对任意
x0??a,b?,有fn(x0)?S(x0)。
且有fn(x0)?fn?1(x0)，所以?nk，当nk?nk时，有
ppS(x0)?fnk(x0)?S(x0)?fnk(x0)?p?03．
设某nk?nk，由S(x)与fnk(x)连续性．存在一?0，当
p1pp1x?x0??0,且x??a,b?时
有S(x)?S(x0)??03以及fnk(x)?fnk(x0)?p1p1?03同时成立．显然，又因为
{xnk}?x0．所以存在K值，K?kp1 ．
当nk?nK时， xnk?x0??0成立．最后，当nk?nK时，有
S(xnk)?fnk(xnk)?S(xnk)?fnk(xnk)?S(xnk)?S(x0)?S(x0)?fnk(x0)?fnk(x0)?fnk(xnk)p1p1p1p1＜?0．这与假设矛盾．
所以在?a,b?上，{fn(x)}是一致收敛于s(x)．证毕．
浅埋暗挖隧道工艺标准 1.竖井 1.1适用范围： 本章适用于浅埋暗挖隧道开挖的竖井由格栅钢架、钢筋网片、喷射混凝土联合组成初期支护的施工及验收。 1.2编制参考标准及规范 《地下铁道工程施工及验收标准》GB50299-1999 《铁路隧道施工规范》TB10204-2002 J163-2002 1.3术语 （1）圈梁：竖井棚架支护底座的钢筋混凝土结构。 （2）竖井棚架：采用工字钢等型钢焊接成型的吊装骨架，用于提升、倒运竖井及隧道内垃圾和各种材料的吊运装置。 -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------