第四章 光的衍射
例题
４.1 一对双星的角距离为0.05''，要用多大口径的望远镜才能将它们分辨开？这样的望
远镜的正常放大率是多少？
解 已知双星的角距离??0.05???0.05??180?60?60?2.4?10?7弧度．这个
值就是所要求望远镜最小可分辨的角距离．设望远镜的口径为Ｄ，取可见光平均波长??550纳米，由
??1.22?D，
可计算出望远镜的口径为
D?1.22??1.22?550?102.4?10?7?6?． ?2.8?10（米）
3４.2 宇航员声称他恰能分辨在他下面100公里地面上两个黄绿点光源．若瞳孔直径为4毫米，试估算这两个点光源的间距．
解 设恰可分辨的两个点光源的间距为l，点光源到宇航员距离为Ｌ．两个点光源对人眼的张角即为人眼最小分辨角?，黄绿点光源所发波长为550纳米，因此有
l?L??L?1.22?d?100?10?31.22?550?104?6． ?16.8（米）
宇航员恰可分辨的两光源点至少相距16.8米．
４.3 一架生物显微镜，使用的物镜数值孔径Ｎ.A=0.25，物镜和目镜放大率均为10倍，
光波波长以550纳米计算，试问这台显微镜可分辨的的最小间距是多大？恰可分
辨的两物点在目镜焦平面上形成的爱里斑中心间距有多大？ 解 显微镜最小可分辨的两物点的间距为
?y?0.61?N?A?0.61?550?100.25?6?1.34?10?3(毫米).
物镜放大率??10，故物镜恰可分辨的两个物点在目镜焦平面上形成的爱里斑中心间距为?y??10?y?1.34?10 ４.4
如计算题4.4图所示，宽度为a的单缝平面上覆盖着一块棱角为?的棱镜．波长为?的平行光垂直入射于棱镜的棱面AB上，棱镜材料对该光的折射率为n，试求单缝夫琅和费衍射图样中央衍射极大和各级衍射极小的衍射方向．
?2毫米．
1
A a ? B 计算题4.4图
解 计算题4.4解图表示出一个被修饰了的夫琅和费单缝衍射装置．若单缝未被修饰时，中央衍射极大出现在沿缝宽划分的各子波带等光程的方向上．各衍射极小出现在边缘子带具有波长整数倍光程差的衍射方向上．这个结论仍可以用来确定本题中经过修饰后的单缝．
在计算题4.4解图中，单缝上边缘Ｄ点处子波源较下边缘Ｄ?点处子波源初始相位落后（2?/?）nasin?，这是由于Ｄ和Ｄ?处的棱镜厚度不同，在单缝前造成了光程差nasin?．在单缝后的?衍射方向上，边缘光波的光程差为nasin?－asin?．当 nasin?－asin?＝０ 时，解出sin?＝nsin?，这是棱镜右侧面处的折射定律，中央极大出现在满足折射定律的方向上．当 nasin?－asin?＝k?，k＝±１、±２、? 时，得到各衍射极小，若由上式解出的?小于零，说明衍射方向位于计算题4.4解图中单缝平面法线的下方，图中所示在法线上方的?是正值．显然，?值只能在±?之间． ４.5
A a ? B D? 计算题4.4解图
光学切趾法是改变系统的孔径函数、使衍射光强重新分布的方法．今有缝宽为a的夫琅和费单缝衍射装置，在缝宽方向上，由x=-a/2到x=+a/2的缝平面上覆盖着振幅透射率为cos(?x/a)的膜片（计算题4.5图）．试求平行光垂直于狭缝入射时，远方屏幕上衍射光强分布，并和无膜片修饰时衍射光强分布作比较．
D ? ?
2
x a 0 计算题4.5图
解 由惠更斯—菲涅耳原理屏幕上的复振幅为
?x~~2ikxsin?A?ccos()?edx??aa2?i1iaikxsin?~2?c?a(e?ea)edx??222aa?x?x~ca?2a?2[eix(?a?ksi?n)?eix(??a
?ksi?n)]dx ??~aic2sin([?asin??????2)?sin(?asin??????2)],
?asin??2?asin??2 即
??~~A?C[sinc(u?)?sinc(u?)] 。
22 式中 a为缝宽， u??asin??。
~~sin(u??/2)sin(u??/2)A?C[?](u??/2)(u??/2)~?C[~4?cosu~cosu?]?C2?C222(u??/2)(u??/2)??4u??4u.cosucosu
光强为
~~?I?A?A?I0cosu(?22?4u)22.
~~sincu，计算题4.5解图（a）和(b)中分别按比例未加膜片修饰时振幅为A?c地画出了修饰前后的振幅分布曲线，(b)中是经膜片修饰后的振幅分布曲线，是两支分别向左、向右平移?/2的sincu曲线之和，将振幅平方就得到光强分布，比较修
饰前后的光强分布可得以下结论：经修饰后，中央衍射极大变宽成原来的1.5倍，各个次极大还维持原来的宽度．但次极大的相对光强将大大下降，各次极大好象是“趾”，被有效的切掉了，衍射光强能量将更有效的集中在中 央衍射极大内．这种方法 叫做 光学切趾法，也叫做 变迹．
-2? -? (a)
? 2? -2? -? (b)
计算题4.5解图 u ? 2? u sincu Sinc(u-?/2) Sinc(u+?/2)) A A Sinc(u+?/2)+sinc(u-?/2)
3
４.6 试设计一块光栅，当入射平面波垂直入射时，可以在衍射角30方向上观察到600
纳米的第二级主极大，却观察不到400纳米的第三级主极大，并且该方向可以分辨波长为600纳米和600.01纳米的两条谱线．
解 我们应该根据题目的条件，确定出光栅常数d，缝宽a和光栅总刻痕数，从而
达到选定光栅的目的．
已知在??300的方向上观察到波长为600纳米的第二级干涉主极大，用光栅方程求出光栅常数
0
0
d?k?sin??2?600?10sin300?6?2.4?10?3（毫米）．
在30衍射方向上看不到应该出现的400纳米的第三级干涉主极大，故光栅第三级缺级，即d/a可以等于1.5或３．取d/a＝1.5，则a＝1.6?10?3毫米，这种情况，光栅的第一衍射极小衍射角
?1?sin?1(?a)?22，
0小于300，这样600纳米的第二级干涉主极大落在中央衍射极大外侧第一衍射次极大内，使得它能量太小．因此此种选择不可取．
取d/a＝３，a=0.8×10毫米，使得所测量的600纳米的第二级干涉主极大落
在中央衍射极大内，具有较大的光强，故取a=0.8×10-3毫米． 在600纳米第二级干涉主极大衍射方向上，可以分辨???????纳米的两条谱线，因此要求光栅在第二级干涉主极大的分辨本领为
R?-3
????600?100.01?10?6?6?6?10．
4又因R?Nk，故光栅的总刻痕数为
N?Rk?6?1024?3?10，
4光栅的宽度为 ４.7
w?Nd?3?10?2.4?104?3?72（毫米）．
有两块光栅，光栅A的光栅常数d=2微米，总宽W＝4厘米；光栅b的光栅常数d=4微米，总宽W＝10厘米．现有含500纳米和500.01纳米两种波长的平面波垂直照射这两块光栅，选定在第二级进行工作，试问两块光栅分别将这两条谱线分
开多大角度？能不能分辨这两条谱线?
解 对于光栅Ａ，d＝２×10毫米，Ｎ＝w/d＝２×10．由光栅方程求出第二级干涉主极大的衍射角
?12?0??sin?30；
d3
4
角色散为
4
D?kdcos??22?10?3?3?10?cos3060
?1.155?10rad/nm.对双线分开的角度为
???D???1.155?10?3?0.01rad?2.38??．
要分辨500纳米和500.01纳米的两谱线，要求分辨本领为
?5004 R???5?10，
??0.014
而光栅在第二级干涉主极大的分辨本领为Ｎk＝４×10，故不可分辨．
对于d＝４×10，Ｎ＝2.5×10的光栅Ｂ，同理可以求得500纳米第二级干涉
3
4
主极大的衍射角为??14.50．在此方向上的角色散为
D?5.164?10?3rad/nm,
两谱线散开的角度为
???1.06??.
光栅在第二级的分辨本领为NK=5×104，故恰好能分辨这两条谱线．
从上面的讨论可以看出，角色散和分辨本领是两个完全不同的概念，前者是将谱线散开能力的描述，后者是分辨谱线能力的描述．分得开的两谱线不一定散得开，散开的两谱线不一定分得开．Ａ的d小，故角色散大，将谱线散开的角度大；但由于刻痕数不如Ｂ多，故仍然分辨不清，Ｂ虽然将谱线仅散开1.06?，但因有较多的刻痕数，故仍可分辨两谱线． ４.8
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，有两个相邻的干涉主极大出现在sin?１＝0.2和sin?2=0.3的衍射方向上，第四级缺级．试求： （1） 光栅常数； （2） 光栅每缝缝宽可能是多少？ （3） 列出屏上可能出现的干涉主极大级次． 解 根据题意可有
k1?d?0.2，
k2?d?0.3，k2?k1?1，??600nm．
(1) 由上面诸方程可解得d=6微米，k１＝２，k２＝３． (2) 第四级缺级，故d＝４a，得缝宽a＝１.５微米．
(3) 光栅光谱的最大级次为d/?=10，由于缺级级次为±４和±８，第十级的衍射
角为90，事实上也不能出现，故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
４.9
单色平行光以与光栅平面法线夹角为?的方向入射到光栅平面上，试证明此种情况下光强分布公式为
I??I0(sin??)2(sinN??sin??)2.
0
??5