十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点
一、选择题
1．【2017年云南省第二次统一检测】已知a?2,b?2，直线y??bx?b与曲线a?x?1?2??y?1??1只有一个公共点 ，则ab的取值范围为（ ）
2A. 4,6?42 B. 4,6?42? C. ?6?42,?? D. 6?42,?? ????????【答案】C
【解析】直线化简为：bx?ay?ab?0 ，圆心?1,1?到直线的距离为d?2a?b?aba?b22?1 ，
22整理为： ?a?b?ab??a?b?ab?ab?2?2a?2b??0 ，即ab?2?2a?2b?0 ，
整理为2?a?b??ab?2?4ab ，设ab?t?2 ，所以t2?4t?2?0 ，解得t?2?2 或t?2?2 （舍），即ab?2?2 ，解得： ab?6?42 ，故选C.
2．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点A?a,0?， B??a,0?（a?0），若曲线x2?y2?23x?2y?3?0上存在点P，使得?APB?90?，则正实数a的取值范围为（ ）
A. ?0,3 B. 1,3 C. 2,3 D. 1,2 【答案】B
???????3．设m,n?R，若直线?m?1?x??n?1?y?2?0与圆?x?1???y?1??1相切，则m?n的取值范围是 （ ）
A. ?1?3,1?3? B. ??,1?3???1?3,?? 22????C. ?2?22,2?22? D. ??,2?22???2?22,?? ????【答案】D
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点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点?x,y?有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u?y?b型的最值问题，可x?a转化为过点?a,b?和点?x,y?的直线的斜率的最值问题；②形如t?ax?by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如?x?a???y?b?型的最值问题，可转化为动点到定点?a,b?的距离平方的最值问题．
4．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线
22l:?m?2?x??m?1?y?4?4m?0上总存在点M，使得过M点作的圆C： x2?y2?2x?4y?3?0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是（ ）
A. m?1或m?2 B. 2?m?8 C. ?2?m?10 D. m??2或m?8 【答案】C 【解析】
如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由?AMB??MAC??MBC?90?及MA?MB
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知，四边形MACB为正方形，故MC?2?2?2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心??1，2?到直线l的距离d??m?2?2m?2?4?4m?m?2???m?1?22?2，即m2?8m?20?0，∴?2?m?10，故选C．
5．若方程
的任意一组解
都满足不等式
，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
y26．【2017届河北省衡水中学高三下第二次摸底】椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，
b2上顶点为A，右顶点为B，若?FAB的外接圆圆心P?m,n?在直线y??x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ） A. ??2??2??1??1?,10, B. C. D. ,10,? ??????2?????2??2????2?【答案】A
【解析】设F??c,0?,A?0,b?,B?a,0?，且?FAB的外接圆的方程为
x2?y2?Dx?Ey?F?0，将F??c,0?,A?0,b?,B?a,0?分别代入可得
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?c?ab2?ac?c?ab2?acm?,n???0，即，由m?n?0可得22b22b1?c?b?cb?c12?0?b?c??0，所以b?c?0，即b2c2?e2，所以?e?1，bb22应选答案A.
7．【2017届山西省实验中学高三下模拟】已知圆C的方程为?x?3???y?4??16，过直线
22l： 6x?8y?5a?0（a?0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为25，则直线l在y轴上的截距为（ ） A. ?25255555 B. C. ? D. 2244【答案】D
【解析】如图,由?x?3???y?4??16,得圆心坐标为(3,4)，
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要使切线长最小,即圆心到直线l: 6x?8y?5a?0 (a>0)的距离最小，
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