第二章《平面向量》教学设计（复习课）
【教学目标】
1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）.
4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|.
5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）. 6.向量的坐标概念和坐标表示法.
7.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）.
8.数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.
【导入新课】
向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直.
新授课阶段
例1 已知，若与的夹角为，则的值为_______. 解析：如图1，设，， 直线的方程为， 设与的交点为，则即为， 显然，.
例2 对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜
2222
+｜b｜.
证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且 ｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜；
(2)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a，b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立.
例3 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a， OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，用a与b表示c，i，j.
解：建立平面直角坐标系xoy，其中i,j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则由条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i－3j, b=j， c=-3i.所以-3a=33b+c|，即c=3a－33b.
例4 下面5个命题：①|a·b|=|a|·|b|；②(a·b)=a·b222；③a⊥(b－
c)，则a·c=b·c；④a·b=0，则|a+b|=|a－b|；⑤a·b=0，则a=0或b=0，
其中真命题是（ ）
A．①②⑤ B.③④ C.①③ D.②④⑤
解析：根据向量的运算可得到，只有①③对，故选择答案 C. 例 5 已知向量，，，
（1）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值． 解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线， ∵，，， ∴，， 而与不平行， 即，得，
∴实数时满足条件．
（2）若为直角三角形，且为直角，则， 而，， ∴，解得．
例6 已知在△ABC中，AB?(2,3)，AC?(1,k),且△ABC中∠C为直角，求k的值. 解：BC?AC?AB?(1,k)?(2,3)?(?1,k?3),
??C为RT??AC?BC?AC?BC?0?(1,k)?(?1,k?3)?0
??1?k2?3k?0?k?3?13. 2课堂小结
本章主要内容就是向量的概念、向量的线性运算、向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤
作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题
1．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC?5e1,DC?3e2,则OC=
（ ）
111(5e1?3e2) B．(5e1?3e2) C．(3e2?5e1) 222112．化简[(2a?8b)?(4a?2b)]的结果是
32A．A．2a?b
B．2b?a
C．b?a
D．
1(5e2?3e1) 2（ ） D．a?b
3．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①AB?BC；②|AB|?|BC|；③|AB?CD|?|AD?BC|； ④|AC|2?|BD|2?4|AB|2,其中正确的个数为 A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（ ）
4．在 ABCD中，设AB?a,AD?b,AC?c,BD?d，则下列等式中不正确的是（ ） A．a?b?c
B．a?b?d
C．b?a?d
D．c?a?b
（ ）
5．已知向量a与b反向，下列等式中成立的是 A．|a|?|b|?|a?b| C．|a|?|b|?|a?b|
B．|a?b|?|a?b| D．|a|?|b|?|a?b|
6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为
（ ）
A．（1，5）或（5，－5） C．（5，－5）或（－3，－5）
B．（1，5）或（－3，－5）
D．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）
7．下列各组向量中：①e1?(?1,2)，e2?(5,7)；②e1?(3,5)，e2?(6,10)；③
13 e1?(2,?3)，e2?(,?)，其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
24A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
（ ）
8．与向量d?(12,5)平行的单位向量为
12,5) 13125125C．(,)或(?,?)
13131313A．(9．若|a?b|?A．103
125,?) 1313125D．(?,?)
1313B．(?41?203，|a|?4,|b|?5，则a与b的数量积为
B．－103
C．102
D．10
（ ）
10．若将向量a?(2,1)围绕原点按逆时针旋转A．(?2,?32)
22C．(?
B．(?得到向量b,则b的坐标为( ） 4232,) 22322,) 22
D．(32,?2)
2211．已知，，的夹角为，如图，若，，为的中点，则为（ ）．
A． B． C．7 D．18 二、填空题
12．非零向量a,b满足|a|?|b|?|a?b|，则a,b的夹角为 .
13．在四边形ABCD中，若AB?a,AD?b,且|a?b|?|a?b|,则四边形ABCD的形状是 .
14．已知a?(3,2)，b?(2,?1)，若?a?b与a??b平行，则λ= . 15．已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为?，则a在e方向上的投影为 .
三、解答题
16．已知非零向量a,b满足|a?b|?|a?b|,求证: a?b.
17、设e1,e2是两个不共线的向量，AB?2e1?ke2,CB?e1?3e2,CD?2e1?e2，若A、B、D三点共线，求k的值.
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参考答案 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C 9 A 10 B 11 A 11．提示：A ， ∴ ． 二、填空题：
12． 120° 13． 矩形 14、 ?1 15． ?2 三、解答题： 16．证：?2a?b?a?b?a?b?a?b?a?b?a?b22222???2?2
?a?2ab?b?a?2ab?b?ab?0.
又?a,b为非零向量，
?a?b.
17． BD?CD?CB?2e1?e2?e1?3e2?e1?4e2, 若A，B，D三点共线，则AB与BD共线，
?设AB??BD,即2e1?ke2??e1?4?e2.
??由于e1与e2不共线,可得： 故??2,k??8.
2e1??e1,ke2??4?e2.