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第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修4-5）
第2节 一元二次不等式及其解法
考点 一元二次不等式
1．（2013天津，5分）已知函数f(x)＝x(1＋a|x|). 设关于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集11
－，??A, 则实数a的取值范围是( ) 为A.若??22?A.?C.?
?1－5?
?
?2，0?
B.?
?1－3?
?
?2，0?
?1－5?∪?1＋3?
???
?2，0??0，2?1－5??D.?－∞，? 2??
解析：本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力．由题意可得0∈A，即f(a)
－1
2a2a1a1a?－1，－，－－?，＋a，x]的区间长度小于1，所以不等式f(x＋a)＜f(x)的解集是?所以2a2??2a2?2
1??1a1a
－，－－?，所以?2??2a22a2??
?1a1?－2a－2＞2，
1a1－＜－，2a22
2
??a－a－1＜0，即?2
?a＋a＋1＞0，?
解得
1－5
＜a＜2
1＋5?1－5?.
，又－1＜a＜0，所以实数a的取值范围是??2?2，0?
答案：A
2.（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15,20] C．[10,30]
B．[12,25] D．[20,30]
解析：本题考查三角形相似的性质，考查考生构建函数和不等式模型，利用解不等式求解实际应用题的能力．如图，过A作AH⊥BC于H，DExADAFAF
交DE于F，易知＝＝＝＝，则有AF＝x，FH＝40－x，
BC40ABAH40由题意知阴影部分的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，即x∈[10,30]．
答案：C
3．(2013广东，5分)不等式x2＋x－2<0的解集为________． 解析：本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力．令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1)，画出函数图象可知，当－2 4．（2013江苏，5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 解析：本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力． 由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x－4x，x>0，?? x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝?0，x＝0， ??－x2－4x，x<0. 22 ???－x－4x>x，?x－4x>x， 由f(x)>x，可得?或? ?x>0???x<0， 2 解得x>5或－5 所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 5．（2013四川，5分）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________． 解析：本题考查二次函数、不等式、函数的奇偶性，意在考查考生的运算能力和化归的数学思想．当x≥0时，f(x)＝x2－4x＜5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＜5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集为(－7,3)． 答案：(－7,3) 6．（2011广东，5分）不等式2x2－x－1＞0的解集是( ) 1 A．(－，1) 2 C．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) 1 D．(－∞，－)∪(1，＋∞) 2 1 解析：由原不等式得(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＜－或x＞1. 2答案：D 7．（2011湖南，5分）已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )