解 显然点(0,0)不在曲线y?ex上，由于y??ex，则 设切点坐标为P(x0,y0)，所以y0?ex0，则过P点的切线方程为
y?ex0?ex0(x?x0)．
因为点(0,0)在切线上，所以?ex0?ex0(?x0)，即x0?1，所以P(1,e)，故切线方程为
y?e?e(x?1)，即ex?y?0．
⒉求两曲线切线方程
例6 已知抛物线C1：y?x2?2x和C2：y??x2?a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，求公切线l的方程．
分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．
解 由C1：y?x2?2x，得y??2x?2，所以曲线C1在点P(x1,x1?2x1)的切线方程是
2y?(x1?2x1)?(2x1?2)(x?x1)，
即
22y?(2x1?2)x?x1． (1)
由y??x2?a，得y???2x，所以曲线C2在点Q(x2,?x2?a)的切线方程是
2y?(?x2?a)??2x2(x?x2)，
即
(2) y??2x2x?x2?a．
若l是过P与Q的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以 ?2x1?2??2x2， ?22?x?x?a．2?122消去x2，得
2x1?2x1?1?a?0，
由题意知??4?4?2(1?a)?0，所以a??12，则x1?x2??12，即点P与Q重合，此时曲线C1和C2有且仅有一条公切线，且公切线方程为x?y?14?0．
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2
（三）利用导数解决不等式问题
纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．
x2x2例7 求证：不等式x?在x??0,???上成立． ?ln(1?x)?x?22(1?x)分析 通过作差，构造函数
x2x2f1(x)?ln(1?x)?(x?)，和f2(x)?x??ln(1?x)，
22(1?x)再通过对f1(x)和f2(x)求导来判断．
x21x2??1?x??0． 证明 构造函数f1(x)?ln(1?x)?(x?)，则f1(x)?21?x1?x得知y?f1(x)在?0，???上单调递增，又因为x?0，所以f1(x)?f1(0)?0，即
x2ln(1?x)?x?成立．
2x2又构造函数f2(x)?x??ln(1?x)，则
2(1?x)4x2?4x?2x212x2f2(x)?1????0． 221?x4(1?x)4(1?x)?得知y?f2(x)在?0，???上单调递增，又因为x?0，所以f2(x)?f2(0)?0，即
x2x??ln(1?x)成立． 2(1?x)综上所述，原命题成立．
（四）利用导数解决数列问题
数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．
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例8 求和：1?2x?3x2???nxn?1(其中x?0，x?1)．
解 注意到nxn?1是xn的导数，即(xn)??nxn?1，可先求数列xn的前n和
x(1?xn)x?xn?1x?x??x??，
1?x1?x2n??然后等式两边同时对x求导，有
1?2x?3x2???nxn?1
[1?(n?1)xn](1?x)?x?xn?1?(1?x)2?nxn?1?(n?1)x?1(1?x)2n．
123n例9 求和：Cn． ?2Cn?3Cn???(?1)nnCn12233nn解 因为(1?x)n?1?Cnx?Cnx?Cnx???(?1)nCnx．
上式两边对x求导，有
1232nn?1?n(1?x)n?1??Cn?2Cnx?Cnx???(?1)nnCnx，
再令x?1，可以得到
123nCn?2Cn?3Cn???(?1)nnCn?0．
（五）利用导数解决实际问题
利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．
例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A处，乙村位于离河岸
40km的B处，乙村到河岸的垂足D与A相距50km．两村要在岸边合建一个供水站C，从
供水站到甲村、乙村的水管费用分别为3a元/千米、5a元/千米，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？(图1)
分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．
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图1
B
A C x D
解 如图1，设点C距点Dxkm，则
AC?50?x，BD?40，BC?x2?402．
总的水管费用为
f(x)?3a(50?x)?5ax2?402(0?x?50)．
又f?(x)??3a?5axx?4022，令f?(x)?0，则x?30．
在?0，50?上，f(x)只有一个极值点，根据实际问题的意义，知x?30处取得最小值，此时AC?50?x?20．所以供水站C建在距甲村20km处才能使水管费用最省．
导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．
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