2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第13讲 直线与圆的方程
一．课标要求：
1．直线与方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；
2．圆与方程
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
二．命题走向
直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
预测2013年对本讲的考察是：
（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；
（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。
三．要点精讲
1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为?0,??。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan?;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan??y2?y1（若x1＝x2，则直线
x2?x1p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0，y0)——直线上 已知点，k——斜率 适用条件 倾斜角为90°的直线不能用此式 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 y?y1x?x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上与两坐标轴平行的直线= y2?y1x2?x1两个已知点 不能用此式 xy+=1 aba——直线的横截距 b——直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 一般式 Ax+By+C=0 ?ACC，?，?分别为 BAB斜率、横截距和纵截距 A、B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．圆的方程
圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)。特殊地，当a?b?0时，圆心在原点的圆的方程为：x2?y2?r2。
圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆心为点(?DE,?)，半径22r?D2?E2?4F22，其中D?E?4F?0。
2二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，表示圆的方程的充要条件是：①、
x2项y2项的系数相同且不为0，即A?C?0；②、没有xy项，即B=0；③、
D2?E2?4AF?0。
四．典例解析
题型1：直线的倾斜角 例1．图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D
解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3
图 ＞k1，故应选D。
点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。 例2．过点P（2，1）作直线AB分别交x轴、y
y 轴的正半轴于A、B两点，求S△ABO的值最小时直 B 线AB的方程。
解析：依题意作图，设∠PAO＝θ，
θ P（2，1） 则∠PBO=90°-θ
θ 所以，横截距为 2+1/tanθ O A x 纵截距为1+2/tan(90°-θ）=1+2tanθ 所以，S=(2+1/tanθ)(1+2tanθ) =4+4tanθ+1/tanθ 当且仅当 4tanθ=1/tanθ
即tanθ=1/2时, S△ABO最小 所以 直线斜率为-1/2
方程为 y-1=-1/2 (x-2)
即 x+2y-4=0
点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。 题型2：斜率公式及应用
?3y??2y?例3．（1）设实数x，y满足?x?y?2?0，则的最大值是___________。
x?x?2y?4?0??
（2）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。
a.证明点C、D和原点O在同一条直线上。 b.当BC平行于x轴时，求点A的坐标。 解析：（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而k表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为(1,3/2)，此时k?3，所2以
y的最大值是3/2。 x
（2）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.
log8x1log8x2因为A、B在过点O的直线上，所以， ?x1x2又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝
log8x1log8x2＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，
log82log82所以OC的斜率和OD的斜率分别为
kOC?log2x13log8x1log2x23log8x2。 ?,kOD??x1x1x2x2由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。
由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得 x2＝x13 将其代入
log8x1log8x2，得x13log8x1＝3x1log8x1. ?x1x2由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝3，于是点A的坐标为（3，log83）.
点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，
考查运算能力和分析问题的能力。
题型3：直线方程综合问题
例4．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A．95 B．91 C．88 D．75 答案：B
解析一：由y=10－
22x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）33所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，
y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。
解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有
176?6=91（个） 2图 点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。
例5．已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。 （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－
3的直线与曲线M相交于A、B两点。
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。 （Ⅰ）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，
所以|x+1|=
(x?1)2?y2。化简得：y2=4x。
图 （Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－
3（x－1）.
??y??3(x?1),由?消y得3x2－10x+3=0，
2??y?4x.解得x1=
1，x2=3。 3所以A点坐标为（
123），B点坐标为（3，－23）， ,33|AB|=x1+x2+2=
16。 3假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
162?22(3?1)?(y?23)?(),① ?3? ?1216?(?1)2?(y?)2?()2.② ?33?3由①－②得42+（y+2
4232
）， 3）2=（）2+（y－
33解得y=－
143。 9但y=－
143不符合①， 9所以由①，②组成的方程组无解。
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。
?y??3(x?1),（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由?得y=23，
?x??1.即当点C的坐标为（－1，2又|AC|2=（－1－
3）时，A、B、C三点共线，故y≠23。
122322843y2）+（y－）=+y， ?3393|BC|2=（3+1）2+（y+2|AB|2=（
3）2=28+43y+y2，
162256）=。 39