可求得A钟的本征时为
1v?t??t`1?(v/c)2?[1?()2]?t`，
2c因此时间差为
t?(2) ?t`??1v2c?t=1.898×`105(s)．
在赤道上看，南极上的钟变慢了．
[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式． 有人直接应用公式计算时间差
1?(v/c)1v1v?[1?()2]?t`??t`?()2?t`，
2c2c由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来
对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．
?t??t`??t`2??t`
?t`??t??t1?(v/c)2??t
1v1v?[1?()2]?t??t?()2?t
2c2c
3．2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为?0?个以速度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两镜面中心的联机与v平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”η与η0的关系怎样？
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，η0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间η是运动时，所以它们的关系为
???2L0．若将这个光钟横放在一c???01?(v/c)2．
3．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
?t`?即 5??t1?(v/c)422，
，
1?(v/c)可以求两系统的相对速度为 v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为 Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
3．4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
`lx?lx1?(v/c)2，
因此
tan?`?`ly`lx?tan?1?(v/c)2，
可得夹角为?`?arctan{[1?(v/c)2]?1/2tan?}．
3．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
?x`??t`??x?v?t1?(v/c)1?(v/c)2，
?t??xv/c22． （1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
?x`??t`??x1?(v/c)??xv/c21?(v/c)22，
．（2）
由（2）之上式得它们的相对速度为
v?c1?(?x/?x`)2． （3）
将（2）之下式除以（2）之上式得
?t`v??2， ?x`c所以
1?x`?x2??(?x`)2?(?x)2= -0.577×10-8(s)． ?t`??1?()cc?x`[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在
S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式?x`??x1?(v/c)，计算它们的相对速度．
3．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
2x`?x?vt1?(v/c)2和t`?t?vx/c21?(v/c)2，
飞船上观察运动员的运动距离为
?x`??x?v?t1?(v/c)2?100?0.8c?101?0.82?≈-4×109(m)．
运动员运动的时间为
?t`??t?v?x/c21?(v/c)210?0.8?100/c≈16.67(s)．
0.6
在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．
3．7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
t?t?空间间隔为
`2`1t2?t1?v(x2?x1)/c21?(v/c)2?8?4?0.8(40?20)/c≈6.67(s)．
0.6`x2?x1`?x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2?40?20?0.8c?(8?4)≈-1.6×109(m)．
0.6
3．8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？
[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应?l??l`1?(v10/c)，可得杆的本征长度为
2?l`??l1?(v10/c)2?101?0.982= 50.25(m)．
另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为
v12?0.98c?(?0.8c)v10?v20= 0.99796c． ?21?0.98(?0.8)1?v10v20/c在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度
?l``??l`1?(v12/c)2= 3.363(m)．
[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10
表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．
3．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式
?t??t`1?(v/c)22，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)= 4(s)．
3．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
y` [解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在
S` y S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为 v=u x` 地球 ux = 0，uy = c．
S uy` 星光在S`系中的速度分量为 c θ` ux?v-u `星光 ux???u
1?uxv/c2O 太阳x u?`yuy1?v2/c21?uxv/c2 ?c1?u/c?c?u ``2`22222 星光在S`系中的速度为u?ux?uy?c，即光速是不变的．
星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为
?`?arctanuu?arctan．
22u`yc?u方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x
轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为
`2u`y?c2?ux/?c2?u2，
从而可求出星光速度垂直地面的夹角为
`uxu． ?`?arctan`?arctan22uyc?u[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止
的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？
[解答]（1）粒子的非相对论动能为Ek = m0v2/2，相对论动能为E`k = mc2 – m0c2， 其中m为运动质量
m?m01?(v/c)2．
根据题意得
m0c21?(v/c)2?m0c2?m0v2，
设x = (v/c)2，方程可简化为1?1?x，或 1?(1?x)?1x， 1?x平方得1 = (1 – x2)(1 - x)，化简得x(x2 – x -1) = 0．由于x不等于0，所以：x2 – x -1 = 0． 解得
x?1?5， 2取正根得速率为
v?c1?5= 0.786c． 2（2）粒子的非相对论动量为：p = m0v，相对论动量为：p`?mv?根据题意得方程：m0v1?(v/c)2，
m0v1?(v/c)2?2m0v．
很容易解得速率为：v?3c= 0.866c． 2
3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系E = E0 + Ek中，静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为
E?mc?所以2m0c21?(v/c)2?E01?(v/c)2，
11?(v/c)2?E0?Ek， E0
由此得粒子的运动时为?t?还可得1?(v/c)2?解得速率为
E?Ek． ??t`02E1?(v/c)0?t`E0，
E0?Ekv?c1?(E02)．
E0?EkE0?Ek2)?1?3?108?2.6?10?6(1?30)2?1= 24167.4(m)． E0粒子能够通过的距离为?l?v?t?c?t`(
2E0v3．13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：?1?2．
cE[证明]根据上题的过程已得
v?c1?(E02)，将E = E0 + Ek代入公式立可得证．
E0?Ek
3．14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．
[解答]在结合过程中，质量亏损为 Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)， 取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)． 如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为 ΔE = 3.549977×10-13(J)．
第四章 机械振动
4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．
[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = Acos(ωt + θ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π． 当t = 0时，x = 0.06m，所以cosθ = 0.5，因此θ = ±π/3． 物体的速度为v = dx/dt = -ωAsin(ωt + θ)．
当t = 0时，v = -ωAsinθ，由于v > 0，所以sinθ < 0，因此：θ = -π/3．
简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)．
（2）当t = T/4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．
加速度为：a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + θ)= -π2Acos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此πt1 - π/3 = ±2π/3．
由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．
当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0， 可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．
所需要的时间为：Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．