1.(2013虹口二模)25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． A E B D
C 第25题图
A E B D
C
（备用图）
25．解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8 ∴BC=10……………………（1分）
点D为BC的中点 ∴CD=5 可证△ABC∽△DEC
DEECCDDEEC5， 即 ????………………………………（1分）
ABBCAC61081525∴DE?，CE?……………………………………………………（2分）
44∴
（2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，
在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°， ∴∠DEC=∠B ∵DE⊥BC，∠PDQ=90° ∴∠PDQ=∠BDE=90° ∴∠BDP=∠EDQ
∴△BPD∽△EQD ……………………………………………………………（1分）
15EQDEEQ4∴， 即， ??BPBD253∴EQ? ………………………………………………………………………（2分）
219∴CQ=EC-EQ?……………………………………………………………（1分）
43②当点P在AB的延长线上时，同理可得：EQ?，
231∴CQ=EC+EQ? …………………………………………………………（1分）
4（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，∴点P在边AB上
BPBDPD4??? EQEDQD33253Q?x，CQ??x …………………………………（1分）若设BP=x ，则E
4444可得cot?QPD??cotC ∴∠QPD=∠C
3∵△BPD∽△EQD ∴
又可证∠PDE=∠CDQ ∴△PDF∽△CDQ
∵△PDF为等腰三角形 ∴△CDQ为等腰三角形………………………（1分） ①当CQ=CD时，可得：
2535?x?5 解得：x?………………………（1分）
344②当QC=QD时， 过点Q作QM⊥CB于M，
155525CD?，CQ??? 222482532525?x?∴， 解得 x?……………………………………………（1分）
6448∴CM?③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，
4?4，CQ?2CN?8 52537?x?8， 解得x??(不合题意，舍去)…………………………（1分）∴
344525∴综上所述，BP?或.
36∴CN?5?2.已知:在梯形
ABCD
中,AD
平行于
BC,AB=DC=5,AD=3.5,sinB=4/5,点E是AB边上一点，BE=3，点P是BC边上的一动点，联结EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射线PF与AD边交于点F，与CD的延长线交于点G，设BP=x，DF=y
（1）求BC的长
（2）试求y关于x的函数解析式，并写出定义域
（3）联结EF，如果△PEF是等腰三角形，试求BP的长
解析（1）BC=9.5 (2)y=9.5-x-15 2 ∠B＝∠FHP ∠BEP＝∠HPF PE＝FP ∴△PEB≌△FPH（AAS），∴EB=PH=3，BP=FH=DC=5； ②如果PE=EF，如图，过F作DC平行线交底边于H，则∠FHP=∠C=∠B．∵在△PEB与△FPH中， ∠B＝∠FHP ∠BEP＝∠HPF ∴△PEB∽△FPH，∴PE：PF=PB：FH，又∵PE=EF， 过E点做△EFP的高ET，则FP：PE=2PT：PE=2cos∠EPF=2cos∠B=6/5∵FH=DC=5， ∴5/6=x/5,解得x=25/6 ③如果PF=EF，同理可得△PEB∽△FPH， ∴PE：PF=PB：FH，∵PE=EF， 过F点做△EFP的高FT，则PE：PF=2PT：PF=2cos∠EPF=2cos∠B=6/5,∵FH=DC=5，∴5/6=5/x,解得x=6 ∴综上所述，线x=25/6或x=6