第十八届北京市大学生数学竞赛本科非数学专业组试题解答
（2007年10月14日 下午2：30--5：00）
一、 填空题（每小题2分，共20分）
m1.设当x?1时,1?是x?1的等价无穷小,则m?______.m?11?x???x解m?3.2.设f(x)?解(x?1)(x?2)?(x?n),则f?(1)?________. (x?1)(x?2)?(x?n)(?1)n?1f?(1)?.n(n?1)13.已知曲线y?f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为?1,则lim[1?f(1?)]n?_____.n??n1解lim[1?f(1?)]n?e.n??n4.lim解5.n???k?1nkenn?1k?______.
原式?e?1.π2π?2?x?sin2xdx?_________.(1?cosx)2解原式?4?π.6.设函数z?f(x,y)在点 (0,1)的某邻域内可微, 且f(x,y?1)?1?2x?3y?o(?),其中??x2?y2，则曲面 z?f(x,y) 在点 (0,1) 处的切平面方程为_____________.解切平面方程为2x?3y?z?2?0.x?1y?1z?17.直线??绕z轴旋转的旋转曲面方程为_____________.011解旋转转曲面方程x2?y2?z2?1.8.设L为封闭曲线|x|?|x?y|?1的正向一周，则解原式?0.?x2y2dx?cos(x?y)dy?____.L9.设向量场A?2x3yzi?x2y2zj?x2yz2k,则其散度divA在点M(1,1,2)处沿?方向l?{2,2,?1}的方向导数(divA)|M?______.?l22解原式?.310.设y?e2x?(1?x)ex是二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解,则?2??2??2?_______.解?2??2??2?14.
二、(10分)设二元函数f(x,y)?|x?y|?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续.试证明函数f(x,y)在(0,0)点处可微的充分必要条件是?(0,0)?0.证(必要性)设f(x,y)在(0,0)点处可微,则fx?(0,0),fy?(0,0)存在.f(x,0)?f(0,0)|x|?(x,0)由于fx?(0,0)?lim?lim,x?0x?0xx|x|?(x,0)|x|?(x,0)??(0,0),lim????(0,0),故有?(0,0)?0.x?0x?0xx(充分性)若?(0,0)?0,则可知fx?(0,0)?0,fy?(0,0)?0.因为f(x,y)?f(0,0)?fx?(0,0)x?fy?(0,0)y|x?y|?(x,y)|x?y||x|?,又??22222222x?yx?yx?yx?y|x?y|?(x,y)所以lim?0.由定义f(x,y)在(0,0)点处可微.x?0x2?y2且lim?y?0|y|x?y22?2,三、(10分)设f(x)在区间[?1,1]上三次可微,证明存在实数??(?1,1),使得
f???(?)f(1)?f(?1)??f?(0).62证f??(0)f???(?1)?,2!3!f??(0)f???(?2)f(?1)?f(0)?f?(0)??,2!3!1f(1)?f(?1)?2f?(0)?[f???(?1)?f???(?2)].6f(1)?f(0)?f?(0)?
1由导数的介值性知存在实数??(?1,?2),使得f???(?)?[f???(?1)?f???(?2)].于是2???f(?)f(1)?f(?1)??f?(0).62四、(10分)设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域D:x2?y2?1上有一阶连续偏导数,又??u?u???v?v?f(x,y)?v(x,y)i?u(x,y)j,g(x,y)????x??y??i????x??y??j,且在D的边界上有????u(x,y)?1,v(x,y)?y,求??fD?
gd?.解?f???D??u?u???v?v??u?v??u?v??(uv)?(uv)?????g?v???u??v?u?v?u??x?y???x?y???y???x??y,?x?x?y?????? ??(uv)?(uv)?f?gd?????x??y??d??Luvdx?uvdy?Lydx?ydy?????0??D2π??(?sin2??sin?cos?)d???π,222L:x2?y2?1,正向.22五、(10分)计算???z2xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?:(x?1)?(y?1)??1(y?1),取外侧.4解z2设?0:y?1,左侧,D:(x?1)??1,则原式??.4????2????00???0???0????dzdx??2π,D???2???Vπ(x?y?z)dv?2π???V(x?y)dv?2d?d?2(rcos?sin??rsin?sin??2)r2sin?dr000???ππ111219(cos?sin2??sin?sin2??sin?)d??π,0044331925?原式?π?2π?π.33?4d???另解z2设?0:y?1,左侧,D:(x?1)??1,则原式?42???0?????.?0???0????dzdx??2π,??D?22???0???(x?y?z)dv,V故原式?2???(x?y?z)dv?2π.
z?2x?x2,y?1,42V2???VVxdv?xdx02???Dx1Dy2dydz?πx(2x?x2)dx?022?4π,3Dx:(y?1)2????ydv??ydx??11dzdx?πy?2?(2y?y)dy?π,60?z2Dy:(x?1)??2y?y2,481125?原式?π?π?2π?π.333六、(10分)设正项级数?an?1?n收敛,且和为S.试求：
a?2a2???nan(1)lim1;(2)n??n?n?1?a1?2a2???nan.n(n?1)a1?2a2???nanSn?Sn?S1?Sn?S2???Sn?Sn?1?nnS?S2???Sn?1S?S2???Sn?1n?1?Sn?1?Sn?1?,nn?1na?2a2???nan
?lim1?S?S?0;n??na?2a2???nana1?2a2???nana1?2a2???nan(2)1??n(n?1)nn?1a?2a2???nana1?2a2???nan?(n?1)an?1?1??an?1.nn?1解(1)a1?2a2???nana?2a2???nan,则1?bn?bn?1?an?1nn(n?1)
???a1?2a2???nan??b1?an?1?an?S.n(n?1)n?1n?1n?1记bn????七、(10分)飞机在机场开始滑行着陆.在着陆时刻已失去垂直速度,水平速度为v0米/秒.飞机与地面的摩擦系数为?,且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比,在水平方向的比例系数为kx千克?秒2/米2,在垂直方向的比例系数为ky千克?秒2/米2.设飞机的质量为m千克,求飞机从着陆到停止所需的时间.解水平方向的阻力Rx?kxv2,垂直方向的阻力Ry?kyv2,摩擦力W??(mg?Ry).d2skx??kyds2由牛顿第二定律，有?()??g?0.mdtdt2记A?kx??kymd2sdsdv,B??g,根据题意知A?0.于是有2?A()2?B?0,即?Av2?B?0.dtdtdt1AB1ABarctan(Av)??t?C.B分离变量得dv??dt,积分得Av2?B代入初始条件t?0,v?v0,得C??t?1ABarctan(1ABAv0)?Barctan(1ABarctan(Av).BAv0).Barctan(当v?0时，t?Av0)?Bkx??kymarctanv0(秒).(kx??ky)?gm?g