三、17．解：?C?120?,?A?B?60?,B?60??A.
11sinAcosB?cosAsinBsin(A?B)3 ????tanAtanBsinAsinBsinAsinB2sinAsin(60??A)?32323??.
2sin(2A?30?)?1sinA(3cosA?sinA)3sin2A?cos2A?111?有最小值23 tanAtanB1的概率落入铁钉左边2由题意，0??A?60?，则30??2A?30??150?， 所以当2A?30??90?，即A?30?时，
18．解：（Ⅰ）从第1行开始，玻璃球从一个空隙向下滚动，碰到此空隙下方的一个铁钉后以的空隙，同样以
1的概率落入铁钉右边的空隙．玻璃球继续往下滚动时，总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果．到2最后落入某一个球槽内，一共进行了4次独立重复试验，设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η，则
1??B(4,)．
21014141410， P(??6)?P(??0,或??4)?P(??0)?P(??4)?C04()()+C4()()?222281113131311， P(??4)?P(??1,或??3)?P(??1)?P(??3)?C1()()+C()()?4422222121263P(??2)?P(??2)?C2?． 4()()?22168113则E??6??4??2??3.5．
8281
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次试验获得4分的概率P?，他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复
2
试验，
13115414则至少3次获得4分的概率P?C3． 4()()+C4()?2221619．解：（I）证明：在矩形ABCD中，设AC、BD交点为O，则O是AC中点．又E是PA中点，所以EO是△PAC的中位线． 所以PC//EO．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又EO?平面EBD，PC ? 平面EBD．所以PC//平面EBD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(II) 取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，所以PH⊥平面ABCD． 以H为原点，建立空间直角坐标系H－
xyz（如图）．设AB=2m,AD=n，则
A(m,0,0),B(?m,0,0),C(?m,n,0),D(m,n,0),P(0,0,3m),E(m3m,0,)． 22????3m????????3m所以PD?(m,n,?3m)，AC?(?2m,n,0)，BE?(,0,)
22????????22由PD⊥AC，得PD?AC?0， 即?2m?n?0，n?2m．
????所以，BD?(2m,2m,0)
?????????????3m3m??x1?0?y1?z1?0?????BE???BE?0?z1??3x1??2??设??(x1,y1,z1)是平面EBD的法向量，?? 2?????????????????2mx?2my?0?z?0???BD???BD?0?y1??2x1?111??不妨取x1?1，则得到平面EBD的一个法向量??(1,?2,?3)．
????????由于HP?(0,0,3m)是平面ABD的法向量，故??(0,0,?1)是平面ABD的一个法向量．
设??(1,?2,?3)与??(0,0,?1)夹角?，?的大小与二面角E-BD-A大小相等．
???????????32?????，??45?． cos????2|?|?|?|6所以求二面角E-BD-A的大小为45?．
20．解：（Ⅰ)当a??1时，f(x)?x2?e?x，f?(x)??x?(x?2)?e?x．
当x在[?1,1]上变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
x y?f?(x) ?1 (?1,0) － 0 (0,1) ＋ 1 0 0 y?f(x) e ? ? 1 e
∴x?[?1,1]时，f(x)max?f(?1)?e，f(x)min?f(0)?0． (Ⅱ)∵f(x)?x2?eax，f?(x)?(2x?ax2)eax，
x2?ax?a2?1ax?e, ∴原不等式等价于：x?e?(2x?ax)?e?a2ax2ax11x2?3x22即(a?)?(x?1)?x?3x, 亦即a??2．
aax?11x2?3x∴对于任意的a?0，原不等式恒成立,等价于a??2对a?0恒成立,
ax?1∵对于任意的a?0时, a?11． ?2a??2（当且仅当a?1时取等号）
aax2?3x?2，即x2?3x?2?0，解之得x??2或x??1. ∴只需2x?1因此，x的取值范围是(??,?2]?[?1,??). 21．解：（1）以O，P为直径的两个端点，
构造圆的方程x(x?x0)?y(y?y0?0)（1）及x2?y2?b2 （2） 两式相减得AB方程为x0x?y0y?b2
b16（2）令x?0,y?0?
y0y0令y?0,2x?161616 ? |OM|?,|ON|?x0|x0||y0|a2b2252222 ????ax?by00?25?16
|OM|2|ON|2162y0x22又P点在椭圆上，?2?02?1 ?ab?25?16
ab2?b?4, ?a2?25
y2x2??1 ?椭圆方程为
2516(3)若PA?PB，由切线定理|PA|=|PB|，知四边形必是正方形，
?|PO|?2b 要使P点存在，下列方程必有解 ?x2?y2?2b2222b(a?2b)?222?x??0 ?yx22a?b?2?2?1b?a?a?b?a?2b时，存在点P；若a?2b，这样的点P不存在。
22．解：（I）解法一、?an?2an?1?n?2(n?2)????????① an?1?2an?n?1????????????②
②－①得an?1?an?2an?2an?1?1
?an?1?an?1?2(an?an?1?1)
?{an?an?1?1}为公比为2，首项为2的等比数列. ?an?an?1?2n?1?1,(n?2)递推叠加得 ?an?2n?n,(n?1)
解法二、?an?2an?1?n?2(n?2)????????① 设an?xn?y?2(an?1?x(n?1)?y)
即an?2an?1?xn?y?2x与①式比较系数
得：x=1，y=0
?an?n?2(an?1?n?1) ∴数列{an?n}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，即an?n?2?2n?1?2n ?an?2n?n,(n?1)
S?nb （II）?4n?(an?n)n?4Sn?n?2nbn ?2Sn?2n?nbn??????????????② 由②可得：?2Sn?1?2(n?1)?(n?1)bn?1??????③ ③－②，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn 即(n?1)bn?1?nbn?2?0????????????④ 又由④可得nbn?2?(n?1)bn?1?2?0??????⑤ ⑤－④得nbn?2?2nbn?1?nbn?0 即bn?2?2bn?1?bn?0?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*)?{bn}是等差数列. ?b1?2,b2?4,?bn?2n
1bn1011212r1rn1n(1?)2?(1?)n?Cn?Cn?Cn()???Cn()???Cn()
bn2n2n2n2n2n41r1Cn1n(n?1)?(n?r?1)11?C()?r?r?r???2n2n2nr?r!2r2?2???2?11?2r?1(r?1,2,?n) 21111011212rn1n?Cn?Cn?Cn()???Cn()r???Cn()?1??3???2n?12n2n2n2n222rn1
215?1?(1?n)?
343
15?(1?)n?2n3bn115即(1?)2?
bn3