专题3.3 利用导数研究函数的单调性
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.若方程x3?3x?m?0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ） A．[?2,2] B．[0,2] C．[?2,0] D．(??,?2)∪(2,??) 【答案】A
2.定义在?0,???上的可导函数f?x?满足f'?x??x?f?x?，且f?2??0，则解集为（ ）
A．?0,2? B．?0,2???2,??? C．?2,??? D．?0,3???3,??? 【答案】A 【解析】
f?x??0的x?f?x???f??x?x?f?x??0??2f'?x??x?f?x?f'?x??x?f?x??0?xx??因为，所以，令g?x??f?x?x，则g?x?为?0,???上的减函数，又因为f?2??0，所以g?2??0，所以
f?x??0g?x??00,2???0,2?，故选A. x的解为即的解集为
23．已知函数f(x)?ax?bx?lnx(a?0,b?R),若对任意x?0，f(x)?f(1)，则（ ）
A.lna??2b B. lna??2b C. lna??2b D. lna??2b 【答案】A
1
4.已知函数f?x??x3?bx2?cx?d的图象如图所示，则函数y?log1?x?2?2?2c?bx??的33?单调减区间为（ ） A．??1?,??? B．?3,??? ?2???1?? D．???,?2? 2? C．???,y o ?2 3 x
【答案】B
2【解析】f(x)的导函数为f?(x)?3x?2bx?c，结合图像可知f?(?2)?0,f?(3)?0,可求
2得b??.c??18，则函数y?log1(x2?x?6)，因为g(x)?x?x?6在(3,??)上为增
322函数，由复合函数的单调性可知y?log1(x2?x?6)在(3,??)上为减函数，股本题正确选项
2为B.
5.己知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f?(x)，满足f?(x)?f(x)，且f(x?2)为偶函数，f(4)?1，则不等式f(x)?e的解集为（ ）
A．??2,??? B．?4,??? C．?1,??? D．?0,??? 【答案】D 【解析】
x 2
6.设a?ln2ln3ln5，b?，c?，则（ ） 4925A．b?a?c B． a?b?c C．b?a?c D．a?b?c 【答案】D 【解析】
y?令
lnxx?2xlnxlnx?(x?2)y??0?x?e?2y?x2x4x2在[2,??)上单调，则，因此
递，减，从而a?b?c，选D.
7．函数f?x???x2?3x?a,g?x??2x?x2，若f??g?x????0对x??0,1?恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．??e,??? B．??ln2,??? C．??2,??? D．??【答案】C 【解析】
?1?,0? ?2?（x），x?[01，]，gx）试题分析：令t?g则g在（?x0）?0，则函数（（?x）?2xln2?2x设ggx）在x??0,1?的值域[0，x0]上单调递增，在上[x0，1]单调递减，（?a??2．故选C． [1，（gx0），（（]]gx0）?2x0?x02)?（）ft?0，即a?t2?3t，8.已知函数f?x??2?xa，其在区间?0,1?上单调递增，则a的取值范围为（ ） 2xA．?0,1? B．??1,0? C．??1,1? D．??1,1?
??22??【答案】C
3
9．定义在R上的函数f(x)， f'(x)是其导数，且满足f(x)?f'(x)?2，
xx则不等式ef(x)?4?2e （其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） ef(1)?2e?4，
A．(1,??) B．(??,0)?(1,??)[ C．(??,0)?(0,??) D．(??,1) 【答案】A 【解析】
令g(x)?exf(x)?2ex，则g'(x)?ex(f(x)?f'(x)?2)?0，可知函数g(x)在R上单调递增，故当x?1时，g(x)?g(1)?ef(1)?2e?4，即g(x)?ef(x)?2e?4，即
xxexf(x)?2ex?4．
x210. 若函数f?x??a?x?x?lna?m?2?a?0且a?1?有两个零点，则m的取值范围
（ ）
A.??1,3? B.??3,1? C.?3,??? D.???,?1? 【答案】A
x2【解析】考查函数g?x??a?x?xlna?m，则问题转化为曲线y?g?x?与直线y?2有两个公共点，
xx则g??x??alna?2x?lna?a?1lna?2x，则g??0??0，
??当0?a?1时，lna?0，
xxx当x?0时，a?1?0，a?1lna?0，2x?0，则a?1lna?2x?0，
???? 4