电大微积分初步考试考点归纳总结 一、填空题 ⒈函数f(x)?9.de??x2dx?e?xdx 2y?11x? 221215?x的定义域是
??f(x)或d(?f(x)dx)?f(x)dx （?f(x)dx）1?112 ?y?|x?1??y??k切 ， y?x?xxx10.微分方程y??y,y(0)?1的特解为 y=e . 22（－∞，5）．5－x＞0 →x＜5
y??y
dydx?y ?dyy?dx两边积分?1⒉limydy??dx x??xsin1x? 1 ．
?y?limsinxex?c又y(0)=1 (x=0 , y=1)
x??x?1，x??时，1x?0 ?lny?x?c ?1?e0?c，c?0
⒊已知f(x)?2x，则f??(x)= 2（xln2）2 ． 11.函数f(x)?1ln(x?2)?4?x2的定义域是⒋若
?f(x)dx?F(x)?c，则
?f(2x?3)dx?1?-2，-1???-1,2? 2F(2x?3)?C． ??⒌微分方程xy????(y?)4sinx?ex?y的阶数是 三?4?x2?0?-2?x?2?x?2＞0??阶 ．∵y??? ??x＞-2?ln(x?2)?0??ln(x?2)?ln1
6.函数f(x)?1?ln(x?2)的定义域是（-2，-1）U（-1，????2＜x?2????2＜x?2∞) ?x?2?1?x??1?x?2＞0，lnx?2?0???x＞-2，ln(x?2)?ln1???x＞-2，x?2?1?3
12.若函数?f(x)???xsin?1,x?0,在x?0∴?x|x＞-2且? -1?
??kx处连,x?07.limsin2x续，则k? 1 ． x?0x? 2 ． limf(x)?f(x0limsin2xsin2x1sin2xx?x) (f(x)在x0处连续) ∵
0x?0x?limx?0? lim?2:1?2 2x?11x?02xf(0)?k 228.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y?(0) = -6 ?lim (xsin3?1)?limx?sin3?1y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x?0xx?0x （无穷小量x2
-6x
?1x有界函数） =x4
-6x3
+11x2
-6x , y??4x3?18x2?22x?6 ?（把
13.曲线y?x在点(1,1)处的切线方程是
0带入X）?y?(0)??6,
?方程?y?1?12(x?1)?y?12x?12 14.?(sinx)?dx? sin x+c 15.微分方程(y??)3?4xy????y5sinx的阶数为 三阶 16.函数f(x)?xln(x?2)的定义域是（2,3）U（3，∞） ??x?2＞0?x?ln(x?2)?0?＞?2?ln(x?2)?n ???x＞22?1??x|x＞?x?2且x?3?17.limsinxx??2x? 1/2 18.已知f(x)?x3?3x，则f?(3)= 27+27ln3 f?(x)?3x2?3xln3 ?f?(3)?27?27ln3
19.
?dex2= ex2+c 20.微分方程(y??)3?4xy(4)?y7sinx的阶数为 四阶 二、单项选择题
?e?x?ex⒈设函数y2，则该函数是（偶函数）．∵
ex?e?xf(?x)?2?f(x)所以是偶函数⒉函数
f(x)?x?3x2?3x?2的间断点是（x?1,x?2）分母无
意义的点是间断点∴x2?3x?2?0,x?1,x?2
?2xdy?y1e ?xy?y） （dxu2y1?e，u= -2x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极11.设f(x?1)?x?1，则f(x)?（x(x?2)） 值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 1ulim12.若函数f (x)在点x0处可导，则(f(x)?A，y?(eu)′·(-2x)′=e·（-2）
⒊下列结论中（f(x)在x?x0处不连续，则一定在x011⒋如果等式?f(x)exdx??ex?c，则f(x)?（ 1x2 ） ??f(x)dx?F(x)?C,?F?(x)?f(x),?(e?1x)??，令u??1x,y?eu
?(e?1x)??(eu)??(?1x)??eu??(x?1)??1?eu?(x?2)?exx2
??e?1f(x)e?1xxx2?f(x)?1x2⒌下列微分方程中，（y?y?yx?sinx ）是线性微分
方程．
设函数y?ex?e?x6.2，则该函数是（奇函数）．
7.当k?（2 ）时，函数f(x)???x2?2,x?0?k,x?0在
x?0处连续.
8.下列函数在指定区间上单调减少的是
（3?x）．
9.以下等式正确的是（3xdx?d3xln3） 10.下列微分方程中为可分离变量方程的是x?x0但A?f(x0))是错误的． 13.函数y?(x?1)2在区间(?2,2)是（先减后增） 14.?xf??(x)dx?(xf?(x)?f(x)?c） 15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（dydx?xy?y） 16.下列函数中为奇函数是（ln(x?1?x2)） 17.当k?（2）时，函数f(x)???ex?1,x?0?k,x?0在x?0处连续.
18.函数y?x2?1在区间(?2,2)是（先单调下降再单调上升）
19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）
的曲线为（y = x2
+ 3）．
20.微分方程y??y,y(0)?1的特解为（y?ex）．
三、计算题
⒈计算极限limx2?3x?2x?2x2?4． 解:lim(x?1）(x?2)x?2x?2?lim(x?1)x?2(x?2)?14 ⒉设y?e?2x?xx，求dy.
e-2x13解：
?x?x2?e?2x?x2
1= -2·e
-2x ∴y′= -2e-2x
+
312x2
dy=(-2·e-2x
+32x1∴2)dx
⒊计算不定积分?sinxxdx
1解：令u=x?x2,u′=1?112x2?2x
∴d?1u2xdx ∴?sinu·2du=2?sinudu=2(-cos)+c
= -2cosx?c ⒋计算定积分?102xexdx
u=x，v′=ex,v= ex
∴
?1110uv′dx=uv|0-?0u?vdx
??1xexdx?x?ex|1??1ex000dx?xex|1?ex|100 ?e?(e??e0)?1∴原式=2
5.计算极限limx2?2x?15
x?3x2?9lim(x?5)(x?3)limx?54x?3(x?3)(x?3)?x?3x?3?
36.设y?xx?lncosx，求dy 解：y?x?x12?lncosx?x32?lncosx
y1=lncosx
y1(lnu)??(cosx)?y1=lnu1,u=cosx ∴
1?
?1u?(?sinx)??sinxcosxy1
=31sin2x2?xcosx
∴dy=(32x12?sinxcosx)dx
7.计算不定积分?(1?2x)9dx
解：
?(1?2x)9dx
令u=1-2x , u′= -2 ∴du??2x?dx??12du??u9?(?12du)??192?udu??1?u10(1?2x)10
29?1?c??20?c8.计算定积分
?10xe?xdx
解：u=x,v??e?x，v??e?x ?1x?e?xdx??x?e?x|1??1(?e?x000)dx
?e?1??1e?x0d(?x)=e?1?e?x|1110?e?(e?1)?1
9.计算极限limx2?6x?8x?4x2?5x?4
lim(x?2)(x?4)(x?1)(x?4)?limx?2x?1?23
x?4x?410.设y?2x?sin3x，求dy y1=sin3x y1=sinu , u=3x ,
y?1?（sinu）?（?3x）??3cos3x ∴y′=2xln2+3cos3x ∴dy=(2x
ln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分?xcosxdx
?xcosxdx u=x , v′=cosx , v=sinx ?xcosxdx?x?sinx?
?sinxdx?xsinx?(?cosx)?c
12.计算定积分
?e1?5lnx1xdx ?e11xdx?5?elnx1xdx?lnx|eeln1?5?x1xdx令u=lnx, u′=1x,
?1?5?elnx1xdxdu=
1xdx , 1≤x≤e 0≤lnx≤1 ∴?elnx1121xdx??0udu?2u|110?2 ∴原式=1+5·172=2
13.计算极限limx2?3x?2x?2x2?x?6
解：lim(x?2)(x?1)(x?3)(x?2)?limx?1?15
x?2x?2x?3114.设y?x2ex，求y? 解：y?x2?e1x
(
y1?e1x) ,
yu1?e , u?1x , 1y1?(eu)??(1ux1x)??e?(?1x2)??ex2)
?y??(x21)??ex?x21?(ex)?1111
?2xex?x2?(?exx2)?2xex?ex15.计算不定积分?(2x?1)10dx
解：?(2x?1)10dx u=2x-1 ,d?=2 du=2dx
?(2x?1)10dx??u10?1∴
2du11
?12??u10du?12?u11?c?（11122x?1）?c 16.计算定积分?1x0xedx
解：
?1xxx0x?edx u=x , v??e , v?e
?1xx11x0xedx?x?e|0??0edx
?e?(e?1)?1四、应用题（本题16分）