枣庄学院光电工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷
一、填空题（每小题2分，共20分）
a11a12a13?2a111.如果行列式a21a22a23?2，则?2a21?2a31a31a32a33?2a12?2a22?2a32?2a13?2a23? 。 ?2a33162.设D?363?181912322，则A12?A22?A32?A42? 。 22?12??12??1???3.设B??= 。 ,C?,且有ABC?E,则A?10??34??????a11??x1??0???????4.设齐次线性方程组?1a1??x2???0?的基础解系含有2个解向量，则
?11a??x??0????3???a? 。
5.A、B均为5阶矩阵，A?1,B?2，则?BTA?1? 。 26.设??(1,?2,1)T,设A???T，则A6? 。
7.设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，若?是矩阵A的一个特征值，则A*的一个特征值可表示为 。
228.若f?2x12?x2?3x3?2tx1x2?2x1x3为正定二次型，则t的范围
是 。
9.设向量??(2,1,3,2)T,??(1,2,?2,1)T，则?与?的夹角?? 。 10. 若3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则A?E? 。
第1页，共6页
二、单项选择（每小题2分，共10分）
??x1?x2?x3?0?1.若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解,则??（ ）
?x?x??x?023?1A.1或2
B. －1或－2
C.1或－2 D.－1或2.
2.已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,?2,2，它们的余子式的值分别为
3,?2,1,1，则A?（ ）
A.5
B.-5
C.-3 D.3
3.设A、B均为n阶矩阵，满足AB?O，则必有（ ）
A.A?B?0
D.A?0或B?0 B.r(A） c.A?O或B?O ?r(B）4. 设β1,β2是非齐次线性方程组AX?b的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是
A．?????
B．
（ ）
1?3?1?2?2? C．1??1?2?2? D．?1??2
25225. 若二次型f?5x12?5x2则k?（ ） ?kx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2，
A. 1 B.2 C. 3 D. 4
三、计算题 (每题9分，共63分)
ab?bba?b1.计算n阶行列式Dn?????bb?a 第2页，共6页
?101???2. 设A,B均为3阶矩阵，且满足AB?E?A2?B，若矩阵A??020?，
??101???求矩阵B。
?1??3??9??0??a??b?????????????3.已知向量组?1??2?,?2??0?,?3??6?和?1??1?,?2??2?,?3??1?；已知
??3??1???7???1??1??0??????????????3可以由?1,?2,?3线性表示, 且?1,?2,?3与?1,?2,?3具有相同的秩,求a ,b的值。
?1??0??2??1??1????????????13?55??????????2?4. 已知向量组?1???,?2???,?3???,?4???,?5???
21342???????????4??2??6??8??0???????????（1）求向量组?1,?2,?3,?4,?5的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
?x1?x2?2x3?3x4?1?5. 已知线性方程组?x1?3x2?6x3?x4?3
?x?5x?10x?9x?a234?1（1）a为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）. 6. 设矩阵P?????1?4???10????,D?，矩阵A由关系式P?1AP?D确定，试求A5 ???1??1?02?227.将二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x2?x3?2x1x2?2x1x3?4x2x3化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。 四、证明题（7分）
已知3阶矩阵B?O，且矩阵B的列向量都是下列齐次线性方程组的解
?x1?2x2?x3?0?（1）求?的值；（2）证明：B?0。 ?2x1?x2??x3?0，
?3x?x?x?023?1
第3页，共6页
2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参考答案与评分标准
参考答案与评分标准
一.
填空题
?1?21????710?1556A?6?24?2A?1．-16； 2. 0；3.?； 4. 1； 5.-4； 6. ； 7.；?????12???1?21??8.?553?t?3； 9. ?2； 10. 24。 二. 单项选择： 1. C； 2. A ；3. D； 4. B； 5. C.
三.计算题：
ab?b1b?b1. Dba?b1a?bn??????[a?(n?1)b]???? bb?a1b?a1b?b?[a?(n?1)b]0a?b?0[a?(n?1)b](a?b)n?1????
00?a?b2. AB?E?A2??B?AB?B?A2?E
(A?E)B?(A?E)(A?E) ?00因为A?E??1??010??显然可逆
???100???101?则 B?A?E???020????E??201??030??
???101?????102??
?139b??19b3. ??2061????3??0?6?121?2b???, ??31?70????0005/3?b/3??即b?5，且r(?1,?2,?3)?2
那么r(?1,?2,?3)?2，则
??0ab??121??121??121?????031?????031???，即a?15 ??110????0a5????0a?150??
第1页，共3页
? 4分
9分
3分 6分
9分
3分 5分 6分 9分
2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参考答案与评分标准
?10211??1?????13?55?2??04.
?21342???0????42680??0???r(?1,?2,?3,?4,?5)?3
023?31?12?211??1??6?1??0?20??0???4?4???0021?1000012000??0? 1??0??4分
5分 7分 9分
其极大线性无关组可以取为?1,?2,?5
且：?3?2?1??2?0?5，?4??1?2?2?0?5
231??11231??10040??11??????613???024?22???012?11? 5. ?13?1?5?109a??0?6?126a?1??0000a?5???????当a??5时，线性方程组有解 4分
?0????4x4?x1??1?即?，特解为?0???， 6分
x?1?2x?x034?2???0????0???4??????4x4?x1???2??1?其导出组的一般解为?，基础解系为?1?? 8分 ,??2???x??2x?x1034?2?????0??1?????原线性方程组的通解为?0?k1?1?k2?2(k1,k2为任意常数） 9分
6. 由P?1AP?D，得A?PDP?1
2分 4分
5A5?PD5P?1
4???1?4???10?1?14???1?4???10?1?1?????????????? 7分 ?1???????????1??02?3??1?1??11??032?3??1?1??4??4344?1?1?128??1??????????1?1???11?12?? ?1323???????9分
7. f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x1x3?4x2x3 =x1?2x1(x2?x3)?(x2?x3)?x2?2x2x3 =(x1?x2?x3)?(x2?x3)?x3
2222222222分 4分 6分
?y1?x1?x2?x3?令?y2?x2?x3 ?y?x3?3 第2页，共3页
2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参考答案与评分标准
?x1?y1?y2?即作线性变换?x2?y2?y3
?x?y3?38分
222可将二次型化成标准形f?y1 9分 ?y2?y3四.证明题：
因为B?O，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式
12?13分
2?1??5??0，所以??0 31?1?12?1??12?1?????（2）A??2?10???0?52?，r(A)?2，因此齐次线性方程组的基础解系
?31?1??000?????所含解的个数为3-2=1，故r(B)?1，因而B?0。 7分
第3页，共3页