陕西省西安市长安区第一中学2017届高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题参考
答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5.BCDDB 6-10.AABAA 11-12.CB 二、填空题（每小题5分，共20分）
13.??2,1? 14. 钝角三角形 15.32 16.??,2?22????2?22,?? ??三、解答题
a2?c2?b212??,B??0,??,?B??. 17.解：（1）a?c?b?ac,?cosB?2ac232223ADBDBDsinB1?,?sin?BAD??2?, （2）在?ABD中, 由正弦定理
sinBsin?BADAD2341715?7??cos?BAC?cos2?BAD?1?2??,?sin?BAC?1????,
16888??2?cos?C?cos?60??BAC??7?35. 16
3?kC3kC6②根据题意,X 服从超几何分布,P?X?k??,k?0,1,2,3, 3C9X的分布列为: X P 0 1 2 3 1 8451531EX?0??1??2??3??1. 的数学期望为??X2128148419. 解：（1）连结FC,取FC的中点M,连结GM,HM,5 2115 283 14GMEF,EF在上底面内,GM不在上底面内,?GM 上底面,?GM 平面ABC,又MHBC,BC?平面
ABC,MH?平面ABC,?MH平面ABC,所以平面GHM平面ABC,由GH?平
面GHM,?GH平面ABC.
（2）连结OB,立空间直角坐标系,
AB?BC,?OA?OB,以O为原点, 分别以OA,OB,OO'为x,y,z轴建
EF?FB?12AC?23,AB?BC,OO'?BF2??BO?FO??3, 2
于是有A23,0,0,C?23,0,0,B0,23,0,F0,3,3,可得平面FBC中的向量
??BF??0,3,3?,CB??2n1n2n1n2??3,2?????3,0?,于是得平面FBC的一个法向量n???13,3,1,
?又平面ABC 的一个法向量n2??0,0,1?.设二面角F?BC?A 为?,则
cos??17?, 77二面角F?BC?A的余弦值为7. 7x2y2??1. 20. 解：（1）43（2）当l 斜率不存在时,A?,??212??212?;当l 斜率,B,?,?DADB?0,??ADB????2?77??77?2?22??x?my??存在时, 设直线l:x?my?或y?k?x??, 由?得777???4y2?3x2?12?0??196?147m?y22?84my?576?0,l与C有两个交点A?x1,y1?,B?x2,y2?,???0,且
y1,y2??576?84m,y?y?,1222196?147m196?147m?84m24?600m24?x1?x2??,xx??,DA??x1?2,y1?,DB??x2?2,y2?1222196?147m7196?147m49
?432m2?576144?432m2?576?432m2?576DADB?x1x2?2?x1?x2??y1y2?4?????0196?147m249196?147m2??ADB??2,综上?ADB?2?2.
21. 解：（1）函数f?x??x?ax?aln?x?1??a?R?定义域是?1,???,当a?13??2x?x??12??3??3???,?f?x? 在?1,?为减函数, 在?,???为增函时,f'?x??2x?1?x?1x?1?2??2?数, 所以函数f?x?的最小值为f????3??2?3?ln2. 4a?2??2x?x??a2???（2）f'?x??2x?a?,若a?0时, 则
x?1x?1a?2??2x?x??a?22???1,f?x???0,
2x?1在?1,???恒成立, 所以f?x?的增区间?1,???.若a?0, 则
a?2?1,故当 2a?2??2x?x??2??a?2??a?2??x??1,,f'x??0,当x?,???????2?x?1??2?a?2??2x?x??2???0, 所以 时,f?x??x?1?a?2??a?2?a?0时, f?x?的减区间为?1,,的增区间为,??fx????. ?22????a2a?a?2?（3）a?1时, 由（1）知f?x?在?1,???的最小值为f?, ???1?aln?242??a2a?a?2?令g?a??f?在?1,???上单调递减, 所以???1?aln?42?2?g?a?max?g?1??则g?a?max??3?ln2, 4?5?15?ln2????ln2,因此存在实数a?a?1?使f?x?的最小值大于?8?885?ln2, 8故存在实数a?a?1?使y?f?x?的图象与y?5?ln2无公共点. 822. 解：（1）因为AE为圆的切线, 所以?CAE??ABD,又因为AD平分
?BAC,??BAD??DAC,?ADB??ABD??BAD,?DAE??DAC??CAE,??DAE??ADE,?EA?ED.
（2）EA?DE?2,EB?ED?DB?3,EA2?ECEB,?EC?4,则32DC?,?DCBE?2.
3 23．本题满分10分 解：(1) .
??4cos?,??2?4cos?, 由?2?x2?y2,?cos??x,得x2?y2?4x,
?3x??1?t??2,消去t解得：x-3y+1?0. 所以曲线C的直角坐标方程为,由??y?1t??2所以直线l的普通方程为x-3y+1?0.
?3x??1?t??2 代入x2?y2?4x, 整理得t2?33t?5?0 , (2)把 ??y?1t??2设
其
两
根
分
别
为
t1,t2 . ?2t，则
t1?3t2?3,t1?t25??,?P2?1Q?t14?2t7?t124. 解：（1）原不等式等价于x?2?x?1?5,当x?2时, 不等式化为
?x?2???x?1??5,解得x?4,?x?4,当1?x?2时, 不等式化为?2?x???x?1??5,
解得1?5,无解, 当x?1时, 不等式化为??x?2???x?1??5,解得x??1,?x??1?,综上所述, 不等式的解集为x|x?4或x??1.
??（2）证：
b?b?f?ab??af??,?ab?2?a?2,即
a?a?22ab?2?b?2a,??ab?2??b?2a?展开得a2b2?4a2?b2?4?0,??a2?1??b2?4??0,
a?1,?a2?1,?b2?4,?b?2.