9．如图在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为________．
【答案】
asinα·sin?γ－β?
m sin?γ－α?
【解析】 在△PAB中，已知∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，AB＝a， asin?γ－β?由正弦定理可得PA＝，
sin?γ－α?
asinαsin?γ－β?
在Rt△PAQ中，PQ＝PAsinα＝.
sin?γ－α?
10．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x＝________.
20【答案】 36
【解析】 如图△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30°＝
75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知
2020
＝sinA，∴x＝36.
sin∠ACB
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.
x
【分析】 如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．
【解析】 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
ABAD由sin15°＝sin45°，
2
800×2
AB·sin45°
得AD＝sin15°＝
6－2
4
＝800(3＋1)(m)．
∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45° ∴CD＝AD＝800(3＋1)≈2 186(m)． 答：山高CD为2 186 m.
12．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．
【分析】 根据题意画出示意图如图所示．在△MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最值．
【解析】 如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇．在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt，
设∠MON＝α，由题意得 34sinα＝5，则cosα＝5. 由余弦定理，得
MN2＝OM2＋ON2－2OM·ON·cosα， 4即vt＝500＋100t－2×500×100t×5. 22
2
22
1112
v＝500×t2－2×500×80×t＋100＝(500×t－80)2＋3 600.
2
2
18025
当t＝500，即t＝4时，v2min＝3 600.
即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，
25
此时MN＝60×4＝375，MQ是M到ON的距离，且MQ＝300. 3004
设∠MNO＝β，则sinβ＝375＝5.所以可得α＋β＝90°， 即MN与OM所成的角为90°.