概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第26页 (共62页)
E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2??2???????xfX(x)dx?3?2xe?2xdx?3?0????y2fY(y)dy
??04y2e?4ydy?1?35?88
8. 设随机函数X和Y相互独立，其密度函数为
?2x,???????x?1?fX(x)??
???????????其他??（y－5）?e?,????y??5?fY(y)??
????????? ???y?5?求E(XY).
解 由于XY相互独立, 因此有
E(XY)?E(X)E(Y)????2xdx?012??5????xfX(x)dx?????yfY(y)dyye?(y?5)dy
?????2???(y?5)???(y?5)?ye?edy??????553???????(y?5)????2?????0?5????e???53?????22????5???(0?1)?????(?6)?433
9. 设随机函数X的密度为
1?,????x?1??2 f(x)???1?x???????????????x?1.?求E(X), D(X).
解 E(X)??????xf(x)dx???111x1?xx21?x212?1dx?0
21E(X)??2????xf(x)dx?12??1?12dx???x2201?x2?1???dx???1?x2dx??01?x2?0?2?211??()?arcsinx|1?1?0???4?222
1?x211dxdx
?01?x2概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第27页 (共62页)
D(X)?E(X2)??E(X)??21 2
10. 设随机函数X服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为
?x?2x?2?e,?????x?0? f(x)???2?????????????????x????其中σ>0是常数，求E(X)，D(X). 解 E(X)?????2???xf(x)dx??x20?2e?x22?2dx?????0xde?x22?2
u?x/?2???x2??2x?22?????2x?22????xe??edx???e2?dx000??
???????e0???u22du?????2?????22e?x22?2E(X)??2????xf(x)dx??2x30?2dx?????0xde2?x22?222???2?2x?22??????x2?x22?2????xe??2xedx??2?xedx
000??2u?x2?2?????2?2?e?udu??2?2e?u0????0?2?22D(X)?E(X2)??E(X)?2????2?2?2??????(2?) ???2?2?
11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2
E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X2)?(E(X)) 2 = 35/12
掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X1+X2+?+X12)=12E(X) = 42
D(X1+X2+?+X12) =D(X1)+D(X2)+?+D(X12)=12D(X)=35
12. 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球，将一
只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X), D(X). 解 （1）直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随机变量Xk
第k只球装入第k号盒子?1,Xk??, 则有：
0,第k只球没装入第k号盒子?
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第28页 (共62页)
nX??Xk，Xk服0-1分布
k?1因此：P(Xk?0)?1?p?1?11,P(Xk?1)?p?, nn1?1??1??n?n?E(Xk)?p?
n1,nD(Xk)?n?E(X)?E??Xk?k?11??EX?n??1??k??n?k?1
（2）XkXj服从0-1分布，则有
P(XkXj?1)?P(Xk?1,Xj?1)?n(n1?1),E(XkXj)?n(n1?1)
?n?D(X)?D??Xk?
?k?1???D?Xk??2?Cov(Xk,Xj)k?1nk?jn???1??1?1?1??1???2?(E(XkXj)?E(Xk)E(Xj))n?k?1n?k?j?111??2???2?nn?k?j?n(n?1)111?1?n?1?2??2Cn??1??1?????12?nn?n??n(n?1)n?
故，E(X)=D(X)=1.
我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X服从参数为1的泊松分布.
13. 在长为l的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差. 解 设所取的两点为X,Y, 则X,Y为独立同分布的随机变量, 其密度函数为 ?1?1?,0?x?1?,0?x?1 fX(x)??l,fY(y)??l,??otherother?0,?0,?1?2,0?x,y?1f(x,y)?fY(x)fY(y)??l,
?other?0,
依题意有
??????E(X?Y)??lx???x?yf(x,y)dxdy
ll11????x?y?2dydx????y?x?2dydx 000xll
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第29页 (共62页)
1lx21ll2x2?2?dx?2??lx?dx
00222ll1?x3l?1?l2xlx2x3l??????2?? 2?260?2l?30?l?2lll??? 663E(?X?Y?)??2?????????x?y2f(x,y)dxdy
???x?y?0?0ll21dxdy 2ll1l?2?dx??x2?2xy?y2?dy0l0 3l?1l?2y?2??xy?xy2??dx3?0l0?1?2l1?2l?l3?0xl?xl?3dx?13122l3?xl?xl?23?3l22?lx? ?012l6 D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 =
121212l?l?l 6918
14. 设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为
1?2,???????x???f(x)??2
????????????其他,求E(2X2)，D(2X2). 解 E(2X)?2E(X)?2?22????12xf(x)dx?2?2x2dx?02121 61 12E(X)?24?????xf(x)dx??2x4dx?041,8022E(X2)?D(2X)?4D(X)?4E(X)??E(X)?24??1?1?1 ?4?????8014445??
15. 设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率
P(X?E(X)?7.5)
的值.
解 由切比雪夫不等式, 取??7.5,??2.5, 得
2.52 P(X?E(X)?7.5?)2?.
7.545
2概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第30页 (共62页)
16. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A发生的
次数为X，试利用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率 解 由题意，X~B(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有
P(40?X?50)
?2?P(X?50?10)?1?2
??1?253?. 1004
17. 设连续型随机变量X的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为f(x)，证明：
（1）a≤E(X)≤b；
(b-a)2（2）D(X)?.
4解 (1) 由题意，a≤X≤b, 那么
E(X)????????????xf(x)dx???????a?x则,b
???????a?af(x)dx??xf(x)dx??bf(x)dx
??????f(x)dx??xf(x)dx?b?????f(x)dx,
由于
?f(x)dx?1
所以a?E(X)?b
(2) 解法(一)
因为 x?[a,b], 所以有(x?a)(x?b)?0
即 x?(a?b)x?ab?0,
2E(X2?(a?b)X?ab) E(X2)?(a?b)E(X)?ab
又 D(X)?E(X2)??E(X)?2
?(a?b)E(X)?ab??E(X)?
2??E(X)?a??b?E(X)?(X)?E(X)?a?b?E? ???
2??2(平均值不等式变形:a,b?0时,ab?a?b)2?b?a???? ?2?2(b?a)2即D(X)?
4