与圆有关的位置关系
【课前热身】
1.（湛江）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
2.（宁德）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关系有（ ）
A．内切、相交 B．外离、相交 C．外切、外离 D．外离、内切
3. (庆阳)两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )
A A．外切 B．相交 C．相离 D．内切 4.（上海）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线
P O ?PA，PB，切点分别为A，B．如果?APB?60，
B PA?8，那么弦AB的长是（ ）
A．4
B．8
C．43
D．83 5.（郴州）已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置关系是 . 【考纲解读】
1. 理解直线和圆的位置关系. 2. 掌握切线的判定定理及性质定理 3. 理解圆于圆的位置关系 【考点链接】 1. 点与圆的位置关系
共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r. 2. 直线与圆的位置关系
共有三种：① ，② ，③ .对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r.
3. 圆与圆的位置关系共有五种：① 内含 ，②内切，③相交，④外切，⑤相离； 两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为： ①d＜R－r，②d=R－r，③ R－r＜d＞R＋r，④d=R＋r，⑤d＞R＋r. 4. 圆的切线： 经过半径的外端，并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
1
推论：（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线长定理：PA2?PB2?OP2?OA2
从圆外一点可以向圆引两 条切线， 切线长 相等 5.三角形的外接圆与内切圆
（1） 三角形的三个顶点确定一 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 三角形的外接圆的圆心叫外 心，是三角形三边垂直平分线的交点.
（2） 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ，内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线 的交点，叫做三角形的内心.
常用公式：①两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径 ②两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径
A ③圆外切四边形两组对组对边和相等 【典例精析】 P · O 【例1】（长沙）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5， PA=4，则sin∠APO等于 练1.1 （2010宁波市）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是 （ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 练1.2（赤峰） 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1?1， O2
⊙O2的半径r2?2，⊙O3的半径r3?3，则△OO12O3是（ ） O3 A．锐角三角形 B．直角三角形 O1 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【例2】 （南平）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，
?A??B?30?．BD是⊙O的切线吗？请说明理由．
练2 （湘潭）如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O 的
切线，切点为C，连结AC.（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
M C （2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于
点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说A 明理由；若不变化，求∠CMP的大小.
2
O
B
P
C?BD，【例3】（恩施）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使D连结AC，过点D作DE?AC，垂足为E．
A （1）求证：AB?AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
O （3）若⊙O的半径为5，?BAC?60?，求DE的长． E C D B
练3.1（2010义乌） 如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，
，cosC?OM交AC于点D，?BOE?60°（1）求?A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线； （3）求MD的长度．
1，BC?23． 2M D A O
E C
B
练3.2（泰安）如图所示，△ABC是直角三角形，?ABC?90?，以AB为直径的⊙O 交AC于
A 点E，点D是BC边的中点，连结DE． （1）求证：DE与⊙O相切；
E O （2）若⊙O的半径为3，DE?3，求AE． B D C
1.（2010年兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为
A．2
B．3 C．3
D．23
2.（2010年无锡）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满
d?9 足 （ D ）A．d?9 B． C． 3?d?9 D．d?3
3.（2010年长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1?2、r2?4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是 （ B） A．2 B．4 C．6 D．8
4.（2010四川宜宾）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( A )
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 5.（2010哈尔滨）如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（ D ）
A.60° B.90° C.120° D.150° 6．（2010，安徽芜湖）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一圆的半径为_______．【答案】3或17
3
7.（2010年天津市）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.
（Ⅰ）如图①，若AB?2，?P?30?，求AP的长（结果保留根号）；
A 图①
第（22）题
（Ⅱ）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线.
B B C C O P O A
D 图②
P
8.（2010山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O
上一点，且∠AED＝45o．
（1）试判断CD与⊙O的关系，并说明理由． D C （2）若⊙O的半径为3cm，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值． A B O E （第8题）
9（2010山东德州）
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
A G O C D E F B 第9题
图
10（2010莱芜）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.
A D
B C O
（第10题图）
4
11（2010广东中山）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4。 （1）求∠POA的度数；
B （2）计算弦AB的长。
O C 1）60° （2）AB?23 D
P A
第11题图
12（2010年兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长
线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；
1 （2）求证：BC=2AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC
的值.
13（2010陕西省）如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE
（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC外界圆的半径
14（桂林2010）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，
FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC；
A（2）证明：BF＝FD；
A（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
O
D
BFEOCDH 5
BEC第23题图
【近三年中考】
1.（2008临沂） 23．（本小题满分9分） 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC、BC相切于点D、E。 ⑴求⊙O的半径； ⑵求sin∠BOC的值。
2.（2009临沂）7．已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直径为9Cm，⊙O2的直径为4cm．则O1O2的长是（ ）
A．5cm或13cm B．2.5cm C．6.5cm D．2.5cm或6.5cm 3.（2009临沂）23．（本小题满分9分）
如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5． 求（1）⊙O的半径； （2）sin?BAC的值． P B C A O
（第23题
图）
4.（2010临沂）23．（本小题满分9分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）如果∠BDE = 60°，PD =3，求PA的长．
第23题图
5.（2010临沂）4．已知两圆的半径分别是2cm和4cm，圆心距是6cm，那么这两圆的位置关系是 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
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