11?? =1.6Ω
2?f1C2?3.14?1000?0.11 Xc2=1??1.6kΩ
2?f2C2?3.14?1?0.1 解: Xc1=
三、RLC串联交流电路
电阻、电感和电容串联的电路如图1-25所示。下面讨论串联后的阻抗．、电压、电流及功率的关系。
1、阻抗三角形
R、L、C串联后对电流的阻碍作用称为阻抗，用字母Z表示， 单位为欧姆(Ω)。
阻抗值为|Z|=R2?X2=R?XL?XC?2
2图1-25RLC串联电路
?式中，|Z|、R、X三者之间符合直角三角形的关系，如图
1-26所示，称其为阻抗三角形。三角形中的?称为阻抗角。
??arctanX (2-23) R图1-26阻抗三角形
由式(2-23)表明：当电流的频率一定时，电路的性质(电压与电流的相位差?)由电路的参数R、L、C决定。
?
(1)当X>0时，即XL>Xc时，此时?>O，表明电压超前电流?角，如图1-27(a)所示。电感电压UL补偿电容电压UC后尚有余量，即电感的作用大于电容的作用，此时电路呈电感性。
(2)当X 2、电压三角形 根据KVL定律，利用阻抗三角形，就可得出R、L、C串联电路的各个电压之间的关系。在图1-25中，R、L、C串联，三者流过的电流相同，设电流为i?Imsin?t 根据KVL定律可得 U?UR?UL?UC 将阻抗三角形的各个边乘以电流?就可得到R、L、C串联的电压关系图，如图1-27所示。 ???图1-27 电压关系图 26 图1-27(a)为电压相量图，?为电压ù与电流?之间的相位差，数值上与阻抗角相等。图1-27(b)为电压相量三角形，图1-27(c)是电压有效值三角形，简称电压三角形，有效值之间的关系为 2222 U?UR?UX?UR?UL?UC? (2-24) ?电压与电流有效值之间的关系为 I???U （2-25） ZUXU与I之间的相位差 ?=?u??i=arctanX?arctan (2-26) URR【例2-6】 已知RLC串联电路的电路参数为R=100Ω、L=300 mH、C=100μF，接于100 V、50 Hz的交流电源上，试求电流I，并以电源电压为参考相量写出电压和电流的瞬时值表达式。 解：感抗 XL??L?2?fL?2??50?300?10?3?94.2? 11容抗 XC???31.8? ?L314?100?10?6 阻抗Z? 故电流以电源电压为参考相量，则电源电压的瞬时值表达式为 U100I???0.85A Z117.8R2?(XL?XC)2?1002?(94.2?31.8)2?117.8? u?1002sin?tV 又因阻抗角??arctanX?arctan94.2?31.8?320 R100故电流的瞬时值表达式为i?0.852sin??t?320?A 3、功率三角形 将电压三角形的各个边乘以电流I，就可得到功率三角形，如图1-28所示。 图1-28中P为有功功率，即电阻所消耗的功率，单位是瓦(W) P?URI?Scos? (2-27) 图1-28中Q为总的无功功率，是L和C串联后与电源之间的互换功率，单位是乏(var)。 式(1-28)说明L和C两种储能元件同时接在电路中，两者之间可进行能量的互换，减少了与电源之间能量的互换。 图1-28中S称为视在功率，是电源所提供的功率，单位为伏安(VA)。 S?UI?P2?Q2?P (2-29) cos?27 图1-28功率三角形 Q?QL?QC?Ssin? (2-28) 图1-28中的?，称为功率因数角，在数值上功率因数角、阻抗角和总电压与电流之间的相位差，三者之间是相等的。 阻抗三角形、电压三角形和功率三角形是分析计算R、L、C串联或其中两种元件串联电路的重要依据。 4、功率因数的提高 在工厂里，使用的电动机较多，电感量很大，工厂占用的无功功率很大，虽然无功功率并没消耗掉，但这部分功率也无法供给其他用电户使用，所以电业部门对无功功率的占用量有一定的限制，超过限制，电业部门要对工厂进行罚款。为了减少电感对无功功率的占用量，通常采用并联电容的方法。还有民用单相异步电动机的工作(如洗衣机、电风扇等)，也须接入电容进行分相，如果电容坏了，电机不能起动运转。在模拟电子技术中电容和电感的应用很多。 图1-29 提高功率因数的方法 电管部门，对无功功率的监测是用功率因数表。功率因数是有功功率与视在功率之比，用字母λ表示。 ??P?cos? (2-30) Q在只有电感或电容元件的电路中，P=O，S=Q，λ=O，功率因数最低，在只有电阻元件的电路中，Q=0，S=P，λ=l，功率因数最高。如在工厂中使用的电机很多，电感L很大，则可采用并接电容的方法提高功率因数，电路如图2-9(a)所示。图1-29 (a)中的R为电感线圈的导线电阻， 图1-29 (b)是并联电容后的电流相量图。并联电路选择电压为参考量U?U?00，电流之间的相量关系可根据KCL定律得出? = ?C+?L。由图1-29(b)相量图和式(2-33)P=Scos? =UIcos?得出电容支路电流的有效值为 IC?ILsin?1?Isin??又根据电容电路有 28 ?PPP?tan?1?tan?? sin?1?sin??Ucos?1Ucos?UU ??CUXC则 PIC??CU?U?tan?1?tan?? P(2-31) ??tan??tan?1 ?U2式中，?1为没并电容时的功率因数角，可根据条件在三个三角形中的任意一个求得。?为并入电容后的功率因数角，可根据要达到的λ=cos?的值求得。一般要求O．9≤λ<1。如λ=1电路则产生谐振，损坏电气设备。提高功率因数能使电源设备得到充 C?分利用，又能减小供电电流，减小线路的损耗。 【例2-8】某供电设备输出电压为220 V，额定视在功率为220 kVA，如果额定功率为33 kW，功率因数为λ1=0.8的小型民办工厂供电，问能供给几个工厂?若把功率因数提高到λ=0.95，又能供给几个工厂?每个工厂应并接多大的电容? 解：供电设备输出的额定电流为 3 IN?S?220?10?1KA U220当cos?1=0.8时，每个工厂取用的电流为 I1?可供给的工厂数为 IN?1000?5(个) I1187.5当cos?1=O.95时，每个工厂取用的电流为 I?可供给的工厂数为 IN?1000?6(个) I1157.9应并接的电容 C?P(tan?1?tan?) 2?UP33?103??187.5A Ucos?1220?0.8P33?103??157.9A Ucos?220?0.95式中， ?1?arccos0.8?36.90 ??arccos0.95?18.20 33?1000 C?(tan36.90?tan18.20)?916?F22?3.14?50?220 四、电路中的谐振 谐振在计算机、收音机、电视机和手机等电子线路中都有应用，在工业生产中的高频淬火、高频加热等也有着广泛的应用。但有时谐振也会带来干扰和损坏元器件等不利现象。讨论谐振产生的条件和特点，可以取其利而避其害。 所谓谐振，是指在含有电容和电感的电路中，当调节电路的参数或电源的频率，使电路的总电压和总电流相位相同时，整个电路的负载呈电阻性。这时电路就发生了谐振，谐振分为串联谐振和并联谐振。 1、串联谐振 29 R、L、C串联电路如图1-30(a)所示。 图1-30串联谐振 当U与I同相时，即?=0，电路产生串联谐振。由阻抗三角形可得出，串联谐振的条件是 XL?XC 即2?f0L?1 （2-32） 2?f0C式中，f0为谐振频率f0?12?LC?? (2-33) 式(2-36)说明，当调节L或C时就可改变谐振频率f0，而调节电源的频率使f?f0，就可产生谐振。 串联谐振的特点： (1)电路的阻抗最小并呈电阻性，根据阻抗三角形有 Z0?R2?XL?XC??R 2? (2)电路中的电流最大，谐振时的电流为 I?U?U 0Z0R (3)当XL?XC??R时，UL?UC??U，串联谐振可以在电容和电感两端产生高压，故又称其为电压谐振。 谐振电容两端的电压Uc或电感线圈两端的电压UL与 总电压U的比值，称为串联谐振。电路的品质因数， 用字母Q表示为 图1-31 输入电路 Q?UC?UL?1??0L UU?0CRRQ值是谐振时Uc或UL与U的比值。 【例2-9】 某收音机的输入电路如图1-31所示。各地电台发射的无线电波在天线线圈中分别产生感应电动势e1、e2、e3等。如果线圈的电阻为16Ω，电感为0.3 mH，今欲收听中央人民广播电台560 kHz的广播，应将调谐的可变电容C调到多少?如果调谐回路中感应电压为2μV，求谐振电流及谐振线圈上的电压UL，及谐振电路的品质因数Q。 解： 串联谐振频率 f?012?LC 30