2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
高一试卷
一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）
11．函数f?x???x?R?的值域是 ( )
1?x2 A.[0, 1] B.[0, 1)
C.(0, 1] D.(0, 1)
2 ?S的a的值共有( ) 2．设集合S={x|x?3|x|+2=0}, T={x| (a?4)x=4}, 则满足T ≠
A.5 B.4 C.3 D.2
x?xx?x3．函数f?x??4?4?22?2的最小值是 ( )
?? A.1 B.2 C.?3 D.?2
4．函数y?f?x?的图象为C, 而C关于直线x?2对称的图象为C1, 将C1向左平移2个 单位后得到的图象为C2，则C2所对应的函数为 ( ) A.y=f(?x) B.y=f(2?x) C.y= f(4?x) D.y=f(6?x)
25．若函数f?x??loga2x?x?)内恒有f?x??0，则f?x?的??a?0且a?1?在区间(0,12单调递增区间为 ( ) A.(?∞, ?6．若sin A.[0,
3111) B.(?, +∞) C.(0, +∞) D.(?∞, ?)
244??cos3??cos??sin??0???2??, 则?的取值范围是 ( )
] B.[
?4?4,?] C.[
?4,
5??3?] D.[,) 4227．已知集合A?x5x?a?0,B?x6x?b?0,a,b?N, 且A?B?N??2,3,4?, 则a?b的取值范围是 ( )
A.{z∈R |27≤z≤36} B.{z∈N |27≤z≤36} C.{z∈N |28≤z≤35} D.{z∈N |26≤z≤37} 8．若g?x?是不恒等于零的偶函数, 函数f?x???1???????2???g?x??2在?0,???上有最x2?1?大值5，则f?x?在???,0?上有 ( ) A.最小值?1 B.最小值?5 C.最小值?3 D.最大值?3
二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)
x2?3x?49．函数f(x)=的定义域为____________________.
|x?1|?2??x?2, ?2?x?010．已知函数f?x?=?, 则f?x?-f??x?＞-2的解集为_____________.
?x?2, 0?x?2?11．函数y?log2x与函数y?3cosx的图象的交点个数共有 . 212．已知函数f?x??2x?x?4, 若f?x??a?0在R上恒成立, 实数a的取值范围为
.
13．若2?3?5?1, 则2x,3y,5z从小到大的排列顺序是____________. 14．实数a,b,c?a?b?满足3?a?b??3?c?b???c?a??0, 则
xyz(b?c)(c?a)=_______.
(a?b)2三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)
15.设函数f?x??x?2ax?a?6的值域为集合B.
2(1)若B??0,???, 求实数a的所有取值的集合A；
(2)若B??0,???,求实数a所有取值的集合D,并求函数g?a??4?aa?2?a?D?的值域.
??f?x?,x?016.设f?x??ax?bx?c?a,b,c为实常数?, f?0??1，g?x???.
???f?x?,x?0(1)若f??2??0, 且对任意实数x均有f?x??0成立, 求g?x?的表达式；
2(2)在(1)的条件下, 若h?x??f?x??kx不是[?2, 2]上的单调函数, 求实数k的取值范围； (3)设a?0,m?0,n?0且m?n?0, 当f?x?为偶函数时, 求证: g?m??g?n??0.
17.设函数f?x??2ax?4x?3?a,a是实常数, 如果函数y?f?x?在区间(?1, 1)上有
2零点, 求a的取值范围.
2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
高一答题卷
一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案） 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)
9. (?∞,?4]∪(1,+∞) 10. [?2, ?1)∪（0, 2] 11. 3 12. a＞4 13. 3y, 2x, 5z 14. 3?3
三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)
15.设函数f?x??x2?2ax?a?6的值域为集合B. (1)若B??0,???, 求实数a的所有取值的集合A；
(2)若B??0,???,求实数a所有取值的集合D,并求函数g?a??4?aa?2?a?D?的值域. 15.解: f(x)=(x?a)+a+6?a
(1)∵B=[0, +∞), 故f(x)min=0, 即a+6?a=0 即a?a?6=0 解得a=3或?2, ∴A={3, ?2}
(2)∵B ?[0, +∞), 故f(x)min≥0, 即a+6?a≥0 即a?a?6≤0 解得 ?2≤a≤3, ∴ D=[?2, 3]
故g(a)= ?a?2a+4=5 ?(a+1), a∈[?2, 3],
∴当a= ?1时, g(a)有最大值为5, 当a=3时, g(a)有最小值?11 因此, g(x)的值域为[?11, 5]
16.设f?x??ax?bx?ca,b,c为实常数, f?0??1，g?x???22
2
2
2
2
2
2
2
????f?x?,x?0.
???f?x?,x?0(1)若f??2??0, 且对任意实数x均有f?x??0成立, 求g?x?的表达式；
(2)在(1)的条件下, 若h?x??f?x??kx不是[?2, 2]上的单调函数, 求实数k的取值范围； (3)设a?0,m?0,n?0且m?n?0, 当f?x?为偶函数时, 求证: g?m??g?n??0. 16.解:由f(0)=1得c=1
(1)由f(?2)=0得4a?2b+1=0, 又由f(x)≥0对x∈R恒成立, 知a＞0且△=b?4a c≤0
2
?12x?x?1,x?0?112?422
即b?2b+1=(b?1)≤0 ∴b=1, a=从而f(x)=x+x+1∴g(x)=?
44??1x2?x?1,x?0??4(2)由(1)知h(x)=
12
x+(k+1) x+1, 其图象的对称轴为x= ?2(k+1) , 4再由h(x)在 [?2, 2]上不是单调函数, 故得?2＜?2(k+1)＜2 解得?2＜k＜0
(3)当f(x)为偶函数时, f(?x)=f(x), ∴b=0, ∴f(x)=ax+1, a＞0 故f(x)在(0, +∞)上为增函数, 从而, g(x)在(0, +∞)上为减函数, 又m＞0, n＜0, m+n＞0 ∴ m＞?n＞0, 从而g(m)＜g(?n)
且g(?n)= ?f(?n)= ?f(n)= ? g(n) 故得g(m)< ?g(n), 因此, g(m)+g(n)＜0 17.设函数f?x??2ax?4x?3?a,a是实常数, 如果函数y?f?x?在区间(?1, 1)上有
22
零点, 求a的取值范围.
17.解:当a=0时, 则f(x)=4x?3, 此时f(x)的零点为
2
3∈(?1, 1), 故a=0满足题设. 4 当a≠0时, 令△=16+8a(3+a)=0, 即a+3a+2=0 解得a= ?1或?2
(1)当a= ?1时, 此时f(x)= ?2x+4x?2= ?2(x?1), 它有一个零点?1?(?1, 1) 当a= ?2时, 此时f(x)= ?4x+4x?1= ?4(x? 故 a= ?2满足题设
(2)当f(?1)f(1)= (a?7)( a+1)＜0即 ?1＜a＜7时, f(x)有唯一一个零点在(?1, 1)内
22
2
121), 它有一个零点∈( ?1, 1), 22???a?0?a?0??22??8(a?3a?2)?0???8(a?3a?2)?0??? (3)当f(x)在(?1, 1)上有两个零点时, 则?f(?1)?0或?f(?1)?0
?f(1)?0?f(1)?0??11???1???1?1???1??aa?? 解得a＞7或a＜?2
综上所述, a的取值范围是a≤?2或?1＜a＜7或a＞7