三 回答下列问题
1. 在XOY平面上，给定7个不重合的控制点P0，P1，…，P6，由这7个控制点所确定的三次B样条曲线应分为4段，如果移动控制点P2，只影响第几段到第几段之间的曲线形状？画图说明之。 答：第1段到第3段。
2. 形成一个双三次Bezier曲面片，其控制网格的控制点数应为多少？ 答：16个控制点。
3. 形体在计算机内表示时，有哪五种基本几何元素？
答：点、边、面、环、体。
4. 采用Cohen-Sutherland编码法进行线段二维裁剪时，如何判断完全可见线段和在窗口一侧的完全不可见线段？ 答：如果线段两端点的编码全为0，则线段完全可见；如果线段两端点的编码按位与不为0，则线段完全不可见。
5．用函数方程(x?x)?(y?y)?R生成圆，x从
222cc到x?R变化，以单位步长计算对应的y值来得到圆周上每点的位置。这并不是圆生成的好办法，其生成像素点不均匀，请解释这种情况的发生。生成结果如下图所示：
xc?Rc
6．什么是四连通区域？什么是八连通区域？四连通区域与八连通区域有什么区别？
解：如果区域是4连通的，则区域内每一像素可通过四个方向，即上、下、左、右移动到达相邻像素。如果区域是8连通的，区域内的每一个像素可通过两个水平方向，两个垂直方向和四个对角线方向的移动到达相邻像素。8连通算法可以填充4连通区域，4连通算法不能填充8连通区域。
7．三维图形绕三个坐标轴旋转变换需要
考虑旋转顺序，不同的旋转顺序得到不同的结果。现有一三维物体绕x轴、y轴旋转，其旋转矩阵设为Tx，Ty，一般情况下T=TxTy与T=TyTx是不相等的。试证明之。
8. 下面三幅图A、B、C是由两段样条曲线段连接成的一条自由曲线段，在连接点处分别由a、b、c表示，请说出三条自由曲线在连接点处的连续性，并说明含义。
(A) (B)
(C)
答：分别为零阶导数连续，在交点处相连。
一阶导数连续，在交点处切线的斜率一致，但变化率不同。
二阶导数连续，在交点处斜率的变化率一致。
9. 已知Bernstain基函数为B(t)?Ct(1?t)，其顶点序列为Pi（i=0,1,….,n），请写出Bezier曲线的参数方程B(t)。另外，请证明以下一阶导数： B?(t)?n(B(t)?B(t))
i,niinn?ii,ni?1,n?1i,n?1进而证明： B?(0)?n(P?P),B?(1)?n(P?P)。 答： Bezier曲线的参数方程为：B(t)= ?B(t)p,t?[0,1].（2分）
10nn?1ni,nii?0n!B?(t)?(i?t(1?t)?(n?i)(1?t)?t) i!(n?i)!n(n?1)! ??t?(1?t)(i?1)!((n?1)?(i?1))!n(n?1)! ??t?(1?t)i!((n?1)?i)! ?n(B(t)?B(t))
经简单计算，有
i?1n?in?i?1ii,ni?1(n?1)?(i?1)i(n?1)?ii?1,n?1i,n?1?,n(0)?p1B1?,n(0)??nB0,n?1(0)p0?p1n(B0,n?1(0)?B1,n?1(0))?n(P1?P0),B?(0)?p0B0
??1,n(1)?pnBn?,n(1)??nBn?1,n?1(1)pn?1?pnn(Bn?1,n?1(1)?Bn,n?1(1))?n(Pn?Pn?1)B?(1)?pn?1Bn
10.答： 首先计算初始值。在这个问题中，
dx=x2–x1=8-1=7, y=y2–y1=5-1=4,
因此，?1=2dy=8, ?2=2(dy-dx)=-6, ?= ?1-dx=8-7=1 (3分)
由算法算出的值如下表：
d X y 1 1 1 1+?2=-5 2 2 -5+?1=3 3 2 3+?2=-3 4 3 -3+?1=5 5 3 5+?2=-1 6 4 -1+?1=7 7 4 7+?2=1 8 5 11．利用分割递推Casteljau算法，作图求由P0,P1,P2,P3四个点定义的Bezier曲线上的一个点C(0.5) 并利用Bezier曲线的性质画出两端点的切线。 答：如图