时代杯”2016年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题
（初中组）
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的。每题7分，共42分） 1．已知a?15?12，则a?2?1的值为（ ） 2aA．1 B．2 C．3 D．4
2．从分别写有2，3，4，5，6的5张卡片中任意取出3张，则这3张卡片上所写的数可以作为一个三角形的三边长的概率是（ ） A．
1 2 B．
3 5 C．
7 10 D．
4 53．一个正方体的平面展开图如图所示。若对于实数x，y，z，正方体相对两个面上的代数式的值相等，则x?y?z的值为（ ） x?y A．3 C．?1
B．
5 37 D．?
3
z?1 5?6x 7x?2y
3x?2 4x?3
4．设实数x，y满足?6≤x≤?2，3≤y≤4，则A．0
B．
1 2 C．
4 3
2x?y的最大值是（ ） x3D．
25．如图，已知拱门模型的截面由10个全等的等腰梯形构成，则该等腰梯形中较大内角的大小为（ ） A．97° B．99° C．101° D．108° 6．如图（1），在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°。动点P从顶点B出发，沿梯形的边由B—C—D—A的路线运动，最后到顶点A停止。设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y。若y关于x的函数的图像如图（2）所示，则梯形ABCD的面积为（ ） A．22 B．24 C．26 D．28
二、填空题（每题7分，共28分）
7．如图，△ABC内接于⊙O。若∠ABC=25°，则∠OAC= °。
8．如图，阴影部分由7个单位正方形（边长为1）组成。设k，b是实数，直线PQ是一次函数y?kx?b 的图像，点Q的坐标为（3，4）。若直线PQ将图中阴影部分分成面积相等的两部分，则k的值为 。
a2?c29．设a，b，c是三个互不相等的非零实数，满足2b?a?c，a?bc，则的值为 。 2b10．若存在整数a1，a2，?，an，满足a1?a2???an?a1a2?an?n，则称数n为“美丽数”。在1，
22，?，2017这2017个正整数中，“美丽数”的个数是 。
三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分） 11．（本题满分18分）
如图，海岸线上有两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，与A相距6海里。海上有甲、乙两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距42海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距6海里的C处。求两艘轮船之间的距离。
12．（本题满分18分）
112??，求证：ab?1； 1?a1?b1?aba2c22c??（2）设a，b，c为非负整数，且满足2，求证：关于x的方程222b?ca?ba?cb2?c22x?2?b?c?x??0的两个实数根之差是偶数。
2（1）设实数a，b满足a?b?0，且
13．（本题满分22分）
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，D、E分别是边AB和AC上的点，且∠ABE=∠BCD。求证：2AD?AE?BD?CE。
14．（本题满分22分）
设a、x1、x2、x3为四个整数，满足a??1?x1??1?x2??1?x3???1?x1??1?x2??1?x3?，求ax1x2x3的值。