盐城中学2016届高三数学随堂练习（8）
2015-10-14 一，填空题：
1.将函数f(x)?2sin?2x??????的图像向右平移?(??0)个单位，再将图像上每一点横坐标4?缩短到原来的
12倍，所得图像关于直线x??3?4对称，则?的最小正值为 ▲ ．
?63?8
6.为了得到函数y?sin(2x?平移____
?4)的图像，只需把函数y?sin(2x?)的图像向___右______
个长度单位__.
?4)?22sin22.函数f(x)?sin(2x?x的最小正周期是___π_______________.
2_______. 3.函数y?2sinx?sinx?cosx?的最大值为______1?4.函数f(x)?Asin(?x??),(A,?,?是常数，A?0,??0)的部分图象
62如图所示，则f(0)?____.f(0)??3
4?32?5.设??0,函数y?sin(?x?)?2的图像向右平移
?个单位后与原
?4?3,???32第9题图图像重合，则?的最小值是______________. T?.
11.方程x?cosx在???,???内有____两________个根. 12.若动直线x?a(a?R)与函数f(x)?3sin(x??6)与g(x)?cos(x??6)的图象分别交于
M,N两点，则|MN|的最大值为 ．
6.①在??(0,?2)使sina?cosa?13;②存在区间(a,b)使y?cosx为减函数而sinx?0;
③y?tanx在其定义域内为增函数; ④y?cos2x?sin(⑤y?sin|2x??6?2?x)既有最大、最小值，又是偶函数;
|最小正周期为?.
以上命题错误的为________①②③⑤_______________. 7.若esin??lncos??ecos??lnsin?且??(0,?),则?的取值范围为 ．
【答案】(??4,2)?(?3?2,4)
8、定义在(0,??)的函数f(x)满足f(x)?f(y)?f(xy)，且x?1时f(x)?0，若不等式
f(x2?y)?f(2xy)?f(a)对任意x,y?(0,??)恒成立，则实数a的取值范
围 . 11、?0，2?
12、如图,在△ABC中，?BAC?120°，AB?2，AC?1，D是边BC上一点，
DC?2BD，则AD?BC? 12、?A
83
BDC9、已知函数f(x)?x?bx是 ．13、?15232?cx?d在区间[?1,2]上是减函数，那么b?c的最大值
n10、数列?an?满足a1?2,an?1?pan?2?n?N?,其中p为常数．若存在实数p,使得数
*列?an?为等差数列或等比数列,则数列?an?的通项公式an二、解答题：
? ．14、2n
11. （本小题满分14分） ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为
a、b、c，n??cosA,?b?,a?b，已知m?n.
(1)求sinA?sinB的取值范围；
(2)若abx?a?b，试确定实数x的取值范围.
15.解：（1）∵m?n,∴mn?0,∴acosA?bcosB?0. 由正弦定理知，
asinA?bsinB?2R?1，∴a?sinA,b?sinB.
∴sinAcosA?sinBcosB,∴sin2A?sin2B. ∵A,B??0,??,∴2A?2B或2A?2B??. ∴A?B,A?B??2。
???2sin?A??，
4??sinA?sinB?sinA?cosA??4?A??4?3?4，∴
22????sin?A???1.
4???∴sinA?sinB的取值范围为?1,2?.
(2)∵abx?a?b，∴sinAsinBx?sinA?sinB ∴x?sinA?cosAsinAcosA.
t?122令sinA?cosA?t??1,2?,sinAcosA??，
∴x?2tt?12?2t?1t.
∵t?1t在?1,2?单调递增，∴0?t??1t?2?12?22，
∴x?22，故x的取值范围为?22,???.
?12. （本小题满分16分）已知函数f(x)?2lnx?x(x?0)。 （1）求函数f(x)的单调区间与最值；
?1???23 （2）若方程2xlnx?mx?x?0在区间?,e?内有两个不相等的实根，求实数m的取值
e范围； （其中e为自然对数的底数）
（3）如果函数g(x)?f(x)?ax的图像与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)，且0?x1?x2，求证：g?(px1?qx2)?0（其中，g?(x)是g(x)的导函数，正常数p,q满足p?q?1,q?p） 19、解：（1）∵f?(x)?2x?2x?2(1?x)(1?x)x，x?0，
∴当0?x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递增；当x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递减。
∴当x=1时，f(x)有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。
故f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,??)；最大值为-1，但无最小值。
?1???32（2）方程2xlnx?mx?x?0化为?m?2lnx?x，由（1）知，f(x)在区间?,e?上
e的最大值为-1，f()??2?e?1?11e2，f(e)?2?e，f(e)?f()。
e21∴f(x)在区间?,e?上的最小值为?2?2。
e?e?2故?m?2lnx?x在区间?,e?上有两个不等实根需满足?2?2??m??1，
e?e?1?1?1∴1?m?2?1e2，∴实数m的取值范围为?1,2???1?。 2?e?（3）∵g?(x)?22x?2x?a，又f(x)?ax?0有两个实根x1,x2，
??2lnx1?x1?ax1?0,22∴?两式相减，得2?lnx1?lnx2???x1?x2??a?x1?x2? 2??2lnx2?x2?ax2?0.∴a?2?lnx1?lnx2x1?x2???x1?x2?,?x1?0,x2?0?
于是g?px1?qx2??/2px1?qx22px1?qx2?2?px1?qx2??2?lnx1?lnx2x1?x2??(x1?x2)
=
?2?lnx1?lnx2x1?x2???2p?1??x2?x1?.
∵q?p,∴2q?1,∵2p?1,∴(2p?1)?x2?x1??0。 要证：g?px1?qx2??0，只需证：
x2?x1px1?qx2x1x2/2px1?qx2?2?lnx1?lnx2x2?x1??0.
只需证：
?ln?0. (＊)
令
x1x2?t??0,1?，∴(＊)化为
1?tpt?1?lnt?0
只证u(t)?lnt?1?tpt?q?0即可.
u/?t??1t???pt?q???1?t??pt?q?2p2=?t11?pt?q?2??pt?q?t2?t2
?pt?q?=
?q?p?t?1??t?2?p??2t?pt?q?2,qp22?1,0?t?1,
∴t?1?0.
∴u?t??0,∴u?t?在?0,1?上单调递增，∴u?t??u?1??0 ∴u?t??0，∴lnt?1?tpt?q?0.
/即：
x2?x1px1?qx2?lnx1x2?0.
∴g?px1?qx2??0.
a1?1，an13. （本小题满分16分）定义数列?an?：当n?2 时，
/??an?1?r,n?2k,k?N,?? ???2an?1,n?2k?1,k?N.?其中， r?0常数。
（1） 当r?0时， Sn?a1?a2?a3?①求：Sn；
②求证：数列?S2n?中任意三项均不能够成等差数列。
n?an。
（2） 求证：对一切n?N及r?0，不等式?k?1?2ka2k?1a2k?4恒成立。
20、解：（1）当r?0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8.从而猜出数列?a2k?1?、?a2k?(k?N)均为等比数列。
? ∵a2k?a2k?1?2a2k?2,a2k?1?2a2k?2a2k?1，∴数列?a2k?1?、?a2k?(k?N)均为等比数
?k?1列，∴a2k?1?a2k?2。
①∴S2k?2(a1?a3?a5??a2k?1)?2(2?1)?2kk?1?2，
S2k?1?S2k?2?a2k?1?2?2?2nkk?1?3?2k?1?2，
∴Sn??12?2,n?2k,?2??k?N?. n?1?2?2,n?2k?1,?3?2②证明（反证法）：假设存在三项Sm,Sn,Sp(m,n,p?N?,m?n?p)是等差数列，即
2Sn?Sm?Sp成立。
?n,1p?N）因m,n,p均为偶数，设m?2m1，n?2n1，p?2p1，（m1,1，
∴2?2(2∴2n1?m1?1n1?1)?2(2p1?m1m1?1)?2(2p1?1),即 2?2n1?2m1?2p1,
?1?2，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。
?a22k2?r（2）∵a2k?a2k1??r?(a，∴a2k?r?22k2??)r，∴?a2k?r?是首项为1?2r，
k?1公比为2的等比数列，∴a2k?r?(1?2r)?2。
又∵a2k?1?2a2k?2(a2k?1?r)，∴a2k?1?2r?2(a2k?1?2r)，∴?a2k?1?2r?是首项为
1?2r，公比为2的等比数列，∴a2k?1?2r?(1?2r)?2k?1 。
∴
2ka2k?1a2k?2?(1?2r)?2?2k?1k?1kk?1?2r???(1?2r)?2????r????(1?2r)?2?k?2?r???(1?2r)?2??k?1?r????11????， k?2k?11?2r?(1?2r)?2?r(1?2r)?2?r?2n∴?k?12ka2k?1a2k?21?2rn?k?1??11???? k?2k?1?r(1?2r)?2?r??(1?2r)?2??22411??。 ?????1n?11?2r1?2r?2r1?2r1?2r?(1?2r)?2?r(1?2r)?2?r?241?2rn∵r?0，∴
?4。∴?k?12ka2k?1a2k?4。