量子力学训练项目
基于量子力学谐振子 波函数的MATLAB图像实现
姓名：陈万 学号：13020011006 专业年级：物理学2013级 指导老师：顾永建
基于量子力学谐振子波函数的MATLAB图像实现
陈万
摘要：量子力学中定态薛定谔方程可精确求解的典型例子是线性谐振子。为了直观的理解这一模型，通过MATLAB绘制出了一维谐振子不同能级下波函数和概率密度分布。通过编程和作图加深对量子力学波函数和概率密度的认识。
关键词：线性谐振子 MATLAB
1. 引言
简谐运动广泛存在于自然界中。任何体系在平衡位置附近的小振动( 例如，分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等) 一般都可以看成是简谐运动即谐振动。通过对比经典谐振子可以加深对量子力学的认识。对众多实际的谐振动的求解一般是从简化的物理模型即线性谐振子出发，然后再考虑具体的物理情景。本文主要借助MATLAB 语言，给出了一维线性谐振子的可视化图形，从理论公式和可视化图形两个角度理解谐振子的波函数和概率密度分布的特性。
2. 一维谐振子的理论研究 对于一维谐振子势能函数为
V?x??1m?2x22 (1)
定态薛定谔方程为
?2d2?1??m?2x2??E?22mdx2 (2)
引入无量纲变量
??m?x? (3)
用?，薛定谔方程可写为
d2??(?2?K)?2d? (4) 式中K是以(1/2)??为单位的能量：
K?2E?? (5)
分析知ψ(x)可以写成如下形式
１
?(x)?h(?)e??22 (6)
薛定谔方程变为
d2hdh?2??(K?1)h?0d?2d? (7) 引入厄米多项式
dn??2Hn(?)?(?1)e()ed? (8)
n?2求得归一化的谐振子定态是
?(x)?(m???)1412nn!He??22n(?) 物理上要求K=2n+1, 也就是能量必须是
E?(n?1n2)??,n?0,1,2,??? 能量是量子化的。 其中前几个厄米多项式为
H0?1， H1?2?,
H2?4?2?2，
H3?8?3?12?
3. MATLAB源程序
%%不同能级下波函数和概率密度分布图像
clear all clc
m=1; %粒子质量 k=1; %劲度系数
２
(9)
(10)
w=sqrt(k/m); %圆频率
h_=1; %普朗克常量，这里为了作图方便，被放大了 A=(m*w/(pi*h_))^(1/4); %归一化系数A syms x
dimV=sqrt(m*w/h_)*x; %the dimensionless variableξ %**************the first few Hermite polynormials,Hn(ξ)
H0=1;
H1=2*dimV;
H2=4*dimV^2-2;
H3=8*dimV^3-12*dimV;
%******************************************************
V=0.5*k*x^2;%势能函数
psi0=A*H0*exp(-(dimV^2)/2);
psi1=A*(1/sqrt(2))*H1*exp(-(dimV^2)/2); psi2=A*(1/sqrt(8))*H2*exp(-dimV^2/2); psi3=A*(1/sqrt(48))*H3*exp(-dimV^2/2); %*********************
ezplot(psi0);ylabel('\\psi_0');title('\\psi_0的图像'); figure
ezplot(psi1);ylabel('\\psi_1');title('\\psi_1的图像'); figure
ezplot(psi2);ylabel('\\psi_2');title('\\psi_2的图像'); figure
ezplot(psi3);ylabel('\\psi_3'); title('\\psi_3的图像'); figure %单独的ψ(x)图像 %********************* subplot(1,2,1); ezplot(V); hold on
ezplot(psi0);
３
ezplot(psi1+2); ezplot(psi2+4); ezplot(psi3+6); axis([-5 5 0 7]);
ylabel('\\psi');title('势能和\\psi的图像');%在一幅图中显示ψn
subplot(1,2,2); ezplot(V); hold on
ezplot(psi0^2); ezplot(psi1^2+2); ezplot(psi2^2+4); ezplot(psi3^2+6); axis([-5 5 0 7]);
ylabel('|\\psi_n|^2');title('势能和|\\psi_n|^2的图像'); %在一幅图中显示|ψn|^2,即概率
4. 不同能级下波函数和概率密度分布图像
４