南昌航空大学2007—2008学年第二学期考试卷答案
课程名称：数学模型 A卷 闭卷 120分钟 题号 满分 实得分 一 20 二 25 三 25 四 20 五 10 六 七 合计 100 一、投资问题（20分） 姓名----------------- 重修标记 某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）证券名称 A B C D E 所购进证券的平均到期年限不超过证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益（%） 市政 代办机构 政府 政府 市政 2 2 1 1 5 9 15 4 3 2 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 5
年
。
若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。
解：设x1,x2,x3,x4,x5分别表示购买证卷A,B,C,D,E的金额（万元），则到期后的净收益为
maxz?0.043x1?0.027x2?0.025x3?0.022x4?0.045x5
班级------------------- 学号-------------- 约束条件为；
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即
x2?x3?x4?400
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即
2x1?2x2?x3?x4?5x5x1?x2?x3?x4?x5?1.4
（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。(4)投资总额为1000万
x1?x2?x3?x4?x5?1000
9x1?15x2?4x3?3x4?2x5x1?x2?x3?x4?x5?5
整理得到（以百万为单位）：
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maxz?0.043x1?0.027x2?0.025x3?0.022x4?0.045x5?x2?x3?x4?4?6x?6x2?4x3?4x4?36x5?0?1?s.t.?4x1?10x2?x3?2x4?3x5?0?x?0,i?1,2,3,4,5i???x1?x2?x3?x4?x5?10
二、战争模型（共计25分）
??x(t)??ay??下列方程给出了正规战争模型：?y(t)??bx??x(0)?x,y(0)?y00??，其中x(t),y(t)分别为甲、乙双方在时刻
t的兵力，a,b分别为乙方和甲方的战斗有效系数。假设a/b?8,x0?2y0，问：乙取胜时的剩余兵力是多少？乙方取胜的时间如何确定？ 解：由模型：
??x(t)??ay???y(t)??bx??x(0)?x,y(0)?y00?? (1)
消去t,得到相轨线方程为： dydx?bxay，
解得： ay?bx?k,k?ay0?bx02222
2?y0?bk?0?(1) 乙方取胜的充要条件是：当x=0时，y?0等价于，因为???xa?0?b1?y?1?,?0??，故乙方胜，当乙方取胜时x(t)?0,从而y?a8?x0?42ka?22y0。
(2) 为了求得乙方取胜的时间，解方程组(1),重写为：
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????x(t)???0??????by(t)???a??x(t)??x(t)??0，?AA???????0??y(t)???b?y(t)??a?? 0?求解得到A的特征值为?1?ab,?2??ab，
abab?1? ???1?， ??TT?1??ab对应的特征向量为u???????1??ab对应的特征向量为u????从而方程组（1）的解为：
?a?x(t)???b???c1?y(t)???1???e????a?????c2eb???1???abtabt （2）
从而x(t)??c1abeabt?c2abe?abt，y(t)??c1ebabt?c2e?abt，由初始条件
x(0)?x0,y(0)?y0得到c1?1??y0?2???1?x0?,c2??y0?a?2????abtb?x0? a??x(t)?12(x0?aby0)eabt?12(x0?aby0)e (3)
当x(t)?0时，解得
?(x0?e2abtababy0)?(x0?，
y0)2?12?1将x0?2y0,a?8b代入上式得到e2ln(3?22)42babt??3?22
t?
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评阅人 得分 三、（传染病模型）（25分）
模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数?；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；记i(t)表示时刻t的病人人数，求i(t)所满足的微分方程，求出i(t)并对进行讨论（i(0)?i0）。
模型二：用i(t)、s(t)分别表示在t时刻传染病人数和健康人数，i(0)?i0。假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为?；（2）一个人得病后，经久不愈，
并在传染期内不会死亡；（3）总人数不变，i(t)?s(i)?N；求t时刻传染病人数i(t)，并对模型及i(t)进行讨论。 解：模型一：
由假设在时间?t内，增加的病人人数为i(t??t)?i(t)??i(t)?t，于是得到微分方程为
?di(t)??i(t)? dt??i(0)?i0??t解得i(t)?i0e。
讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当i???，i(t)???，这显然不符合实际情况。 模型二：
由假设在时间?t内，增加的病人人数为i(t??t)?i(t)?i(t)??s(t)?t，于是得到微分方程：
?di(t)?dt??i(t)s(t)? ?i(0)?i0???s(t)?i(t)?N模型求解： 原方程变为
?di(t)??i(t)[N?i(t)]di(t)?，利用分离变量法得到，??dtdt?i(t)[N?i(t)]?i(0)?i0?或
?i(t)[N?i(t)]或
1Ndi(t)???dt，
1N?(1i(i)?1N?i(t))di(t)??t?c1，
{lni(t)?ln[N?i(t)]}??t?c1
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化简得到i(t)?i0N?i0CNe?Nt?Nt1?Ce，其中c?ecN，由初始条件i(0)?i0得
1c?，故i(t)?CNe?Nt?Nt1?Ce?N?N???Nt1???1?e?i0?
讨论：首先由
di(t)dt??i(t)[N?i(t)]知，当i(t)?N2时，
di(t)dt达到最大值，由
i(t)?N?N???Nt1???1?ei?0??N2，推出
di(t)dt达到最大值的时刻为tm??N?1?1?N?ln??1?， ?i0?这时病人人数增加最快，预示着传染病高潮的到来；第二，tm与?、N成反比，既总人数和传染强度增加时，传染病高峰来的越快。同时，如果知道了传染强度?（可由统计数据给出），
总人数N，则可以预报传染病高峰到来的时间，对于防治传染病是有益处的；第三，模型的缺点是当t???，i(t)?N，既所有的人将要生病，这与实际不符。主要原因是模型假设没有考虑病人会被治愈，病人也可能死亡等情况。
四、（共20分）
学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。现有三个待选单位：A1,A2,A3。假设相对于总目标选择工作C，准则“工资水平c1”和“个人发展c2”c1,c2的权重为
w0?[0.5,0.5]T，相对于准则“工资水平c1”，方案A1,A2,A3的判断距阵为5??2?，相对于准则“个人发展c2”，方案A1,A2,A3的判断距阵为1??C ?1?A??1/2?1/5?211/2?1?B??1/3?3?3151/3??1/5?，试用和法求方案A1,A2,A3对总目标的权重。 1??
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c1 c2A1 A2 A3