自主招生辅导 磁场
一．知识点
1. 几种典型形状载流电线的磁感应强度
?I? 无限长通电直导线 B?0 ?0?4??10?7N?A?2是真空的磁导率。
2?r? 长直通电螺线管 B＝μ0 nI 2. 洛伦兹力 f = qvB sinθ 安培力 dF＝I dL B sinθ 磁力矩 M＝NBIS cosθ 3. 带电粒子在匀强磁场中的运动 ? 匀速圆周运动 条件： ? 螺旋线运动 条件： ? 磁聚焦 特点： 4. 带电粒子在复合场中的运动
二、典型例题
例1.（2011复旦大学）把动能和速度方向相同的质子和α粒子分离开，如果使
用匀强电场及匀强磁场，可行的方法是
A．只能用电场 B．只能用磁场 C．电场和磁场都可以 D．电场和磁场都不行
例2.（2009清华大学）如图所示，真空中一根绝缘杆连接的两个带等量异种电荷的点电荷以相同的角速度绕O点在水平面内匀速转动，已知+q距离O点较近，则O点的磁感应强度方向为：
A．方向竖直向下 B．方向竖直向上 C．O点的磁场强度为零 D．无法确定
例3.（2012年华约）如图所示，在xoy平面内有磁感应强度为B的匀强磁场，其中
x∈（0，a）内有磁场方向垂直xoy平面向里，
在 x∈(a，∞)内有磁场方向垂直xoy平面向外，在x∈(-∞，0)内无磁场。一个带正电q、质量为m的粒子（粒子重力不计）在x=0处，以速度v0 沿 x 轴正方向射入磁场。
（1）若v0未知，但粒子做圆运动的轨道半径为r=2a，求粒子与x轴的交点坐标。 （2）若无⑴中r=2a 的条件限制，粒子的初速度仍为v（已知），问粒子回到原点O 需0
要使 a为何值？
例4.（2011华约）在xOy平面内。x>0,，y>0的空间区域内存在匀强电场，场强大小为100V/m。x>0,，y<3m的区域内存在垂直于xOy平面的磁场。现有一带负电的粒子，电量为q=2×10-7C，质量为m=10-6kg，从坐标原点O以一定的初动能射出，经过点P（4m，3m）时，动能变为初动能的0.2倍，速度方向平行于y轴正方向。最后，粒子从y轴上点M（0,5m）射出电场，此时动能变为过O点时初动能的0.52倍。粒子重力不计。
（1）写出在线段OP上与M点等电势点Q的坐标。
（2）求粒子由P点运动到M点所需的时间。
例5.（2011北约）质量相同的小球A、B，在运动过程中发生弹性正碰撞，则A的碰后速度（方向和大小，下同）等于B的碰前速度，B的碰后速度等于A的碰前速度。如图所示，光滑水平绝缘大桌取为O-xy坐标面，空间有竖直向下（图中朝里）的匀强磁场B。 （1）O-xy平面上距O稍远处的小球A，质量m、电量q>0，初速度方向如图所示，大小为v0。而后A将做匀速圆周运动，试求圆半径R和周期T。
（2）图中小球A1、A2质量也同为m，电量也同为q，开始时分别位于y轴上的y1、y2（y2> y1）位置，初速度方向如图所示，大小也同为v0。设A1、A2间可能发生的碰撞都是弹性
碰撞，且不会相互转移电荷（下同）。已知而后A1能到达y2处，试求y2-y1的可取值。 （3）图中小球B的质量也为m，电量也同为q，t =0时位于x轴上距O稍远的x1位置，大小也为v0。现在给你一个质量为m，电量为-q，初速度大小为v0的小球B*。t=0时B*的初始位置和
B × v0 y A2 A y1 A1 v0 B × O B v0 · 1 xx × B × B 1）T2时刻（k为正整数），B球可达到x轴上，与x1相距
初始速度方向由你选定，但要求在t=（k +尽可能远的x2（x2> x1）位置，最后给出你所得的
v0 x2-x1值。
（附注：解题时略去球之间的电作用力）
例6.一根边长分别为a、b、c（a>b>c）的矩形截面长棒，由半导体锑化铟制成，棒中有平行于a边的电流I通过，该棒置于匀名强磁场B中，B垂直于a、c边。电流I产生的磁场忽略不计，产生电流的载流子为电子e。
（1）若电子的电量为e，自由电子的体密度为n，平均漂移速度为u，霍尔电势差UH
的大小与I和B以及霍尔元件厚度d之间满足关系式UH?RH并解释其仅与材料的性质有关。
（2）在只有电场存在时，电子在半导体中的平均速度u=μE，μ叫做电子迁移率。当有
IB，求霍尔系数RH，d如图的磁场和电流存在时，棒中的总电场的大小和方向，并计算霍尔效应产生的电势差。
（3）如果电流和磁场都是交变的，分别为I=I0sinωt, B=B0sin(ωt+φ)，求电势差
的直流分量的表达式。
c b a B
例7.如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
例8.如图所示，一光滑水平绝缘桌面上固定一半径为R的绝缘介质圆环，在圆环所围的区域内有垂直于桌面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、带电量为q，速度为v的粒子从环上小孔A处对着环心o射入磁场区域。已知带电粒子在桌面上运动，与环碰撞时带电量不变，粒子与环碰撞是弹性碰撞。若该带电粒子与环顺次碰撞后不再超越小孔A点，并直接从小孔A处射出，求：带电粒子在磁场中运动的时间以及相应的入微粒子的速度大小。
例10.如图所示，在半径为a的圆柱空间中(图中圆为其横截面)充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线指向纸面内.在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L=1.6a的刚性等边三边形框架△DEF，其中心O位于圆柱的轴线上.DE边上S点(DS=(1/4)L)处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在截面内且垂直于DE边向下.发射粒子的电量皆为q(>0)，质量皆为m,但速度v有各种不同的数值。若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边。试问：
(1) 带电粒子速度v的大小取那些数值时可使S点发
出的粒子最终又回到S点?
(2) 这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少?
例11.（2013北约）在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B 的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中 a、b 两点在同一水平线上，两点相距 l。带电量 q > 0，质量为 m 的质点 P，以初速度 v 从 a 对准 b 射出。略去空气阻力，不考虑 P 与地面接触的可能性，设定 q、m 和 B 均为不可改变的给定量。
(1) 若无论 l 取什么值，均可使 P 经直线运动通过 b 点，试问 v 应取什么值? (2) 若v为(1)问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点?
(3) 对每一个满足(2)问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b的时间。
(4) 对每一个满足(2)问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点?若能，
再求P 在而后运动过程中可达到的最大运动速率vmax。
× × P ×
× × × ×
B ×
× × ×
× ×
a g
b
× ×
×
例12.如图甲，在x >0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀
强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m，带电量为q（q>0）的粒子从坐标原点O处，以初速度v0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力。⑴求该粒子运动到y=h时的速度大小v；⑵现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期T?2?m。
qBⅠ．求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s；Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为v0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅Ay，并写出y-t的函数表达式。
y y y B h x O
x O v0
O E S S 丙 乙 甲
例13．在真空中建立一坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，z轴垂直纸面向里（图复17-5）．在0?y?L的区域内有匀强磁场，L?0.80m，磁场的磁感强度的方向沿z轴的正方向，其大小B?0.10T．今把一荷质比
t q/m?50C?kg－1的带正电质点在x?0，y??0.20m，z?0处
静止释放，将带电质点过原点的时刻定为t?0时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标．并求它刚离开磁场时的位置和速度．取重力加速度g?10m?s－2。