太原理工大学2002级攻读硕士学位研究生
《矩阵分析》试卷
1、选择题：（10分）
（1）设T是Cn?n上的线性变换，A?Cn?n, 则下列集合不构成子空间的为（ ）
(A)X;AX?0,X?Cn?n (B)X;???X?0,X?Cn?n
?(C)X;TX?0,X?Cn?n (D)Y;TX?Y,X?Cn?n
（2）设T是线性空间V上的线性变换，x1,x2,?,xn?V，则下列不正确的是（ ） (A) T(?)??; (B) T(
???n??xi?1ni)=
?T(x);
ii?1(C) 若x1,x2,?,xn线性相关，则T(x1),T(x2),?T(xn)线性相关。 (D) 若x1,x2,?,xn线性无关，则T(x1),T(x2),?T(xn)线性无关。 （3）设V为酉空间，?x,y,z?V,??C,则有（ ） (A) (x, y)=(y, x) (B) (x, ?y)=?(x, y) (C)x?0,但(x,x)?0 (D) (x,y?z)?(x,y)+(x,z) （4）设A为酉矩阵，则下列等式不正确的是（ ） (A) A?1 (B) AAH?E (C)A?1?AH (D)AHA?E
（5）给定?—矩阵A(?)?(aij(?))n?n，则A(?)可逆的充要条件是（ ） (A) A(?)满秩 (B) A(?)?0 (C) A(?)与E相似 (D) A(?)与E等价 2、填空题（20分）
?2?10???（1）设A??023?， 则A1? , A2? ，A?= ，AF= ;
?120???
4?1??1??（2）已知A???1?30?，则A的约当标准形是 ; ?001???（3）已知A???A?10??10??1P???，则存在可逆阵 ，使PAP???00??， 20????此时e? ;
（4）已知A(t)????cost?sint?A(t)? , ??, limt?0sintcost???d?1A(t)= , 则?2A(t)dt? . 0dt??
3、简答题：（10分）
（1）设V1,V2?V的子空间，写出V1与V2的和是直和的四个等价说法。 （2）设T是线性空间V上的线性变换，写出T为正交变换的三个等价说法。 （3）设A为厄米特阵，写出A为正定阵的两个等价说法。
（4）设A是m?n矩阵，写出Gn?m为A的一个??1—广义逆的一个等价说法。 4、（10分）已知B???T?11???, 实线性空间V??X?(xij)2?2;x11?x22?0?上的变换T定义01??T为: TX?BX?XB (?X?V)
（1）验证T是线性变换；
（2）求V的一组基，使T在该基下的矩阵为对角阵。
5、（8分）在实数域R上的次数小于n的多项式全体P[t]n(n?1)中，对于多项式f(t)与
g(t)，定义实数(f,g)??f(t)g(t)dt
01（1）验证(f,g)是P[t]n中f(t)与g(t)的内积
（2）当n?2时，取f(t)?t,g(t)?t?a,问a为何值时，f(t)与g(t)正交？ 6、（10分）设?1?1,?2?1?t,与?1?4?3t,?2?6?4t
（1）验证?1,?2与?1,?2均为P[t]2的一组基， （2）求由基?1,?2到?1,?2的过渡矩阵，
（3）元2?t在?1,?2下的坐标。
?210??dX???AX?7、（8分）已知A??001?，求解柯西问题：?dt
?110??X(0)?(?1,1,1)T???8、（8分）已知eAt?2e2t?et?2t??e?et?3e2t?3et?e2t?et2e2t?et3e2t?3etet?e2t??t2te?e?, 求A 3et?2e2t???9??09、（8分）设A???1??1?1?28104001??1?，用圆盘定理 0??1??（1）估计A的特征值的分布范围；
（2）证明A至少有两个实特征值。 10、（8分）证明在Pn?n上的每一种方阵范数，在P上都存在与它相容的向量范数。
太原理工大学2002级 工程硕士《矩阵分析》试卷
n1. （4分）设V1，V2是线性空间V的两个子空间，试写出V1与V2的和为直 和的四个等价说法。
?2i14???4?，其中i??1，试求||A||1, ||A||?, 2. （6分）已知A??23i?31?2??? ||A||F.
60??4??3. （10分）已知A???3?50?，试求：1）A的最小多项式；
??3?61??? 2）A?2A?3A?13A?E.
4. （15分）设V是R上次数小于等于2的多项式全体组成的线性空间， 1）证明(f,g)?642?210f(x)g(x)dx(?f,g?V)为V上的一个内积；
2）求正交于h(t)?2t?1的子空间W的一组基； 3）从基{1,t,t}，求一组正交规范基（标准正交基）。
5. （10分）设T是n维酉空间V的线性变换，证明下列说法等价： 1）T是酉变换；
2）T保持向量的长度不变；
3）T将V中的标准正交基变为标准正交基； 4）T在任一组标准正交基下的矩阵是酉矩阵。 6. （10分）设A?Cn?n，且A为厄米特阵，
1）证明?(A)?||A||2；
?10i? 2）已知厄米特阵A???012??，试求||A||?2。
??i25??7. （15分）已知e31?1?t,e2?t?t2,e3?t2?t,e4?t3?1,及
e1??1?t,e2??t?t2,e3??t2?t3,e4??t3?1,为R[t]4的两组基，求： 1）从基{e1,e2,e3,e4}到基{e1?,e2?,e3?,e4?}的过渡矩阵C； 2）p(t)?1?t?t2?t3在两组基下的坐标； 3）线性变换T(p(t))?ddtp(t)在两组基下的矩阵。 ?8. （15分）已知A??31?1??12?1????，F(t)??1??0???，X?1??
0??0?，
?210????et?????1??
1）求eAt；
2）应用矩阵函数法求微分方程
dXdt?AX(t)?F(t)满足初始条件 X(0)?X0的解。
9. （15分）设T为R2?2中的线性变换，使对任一X?R2?2有TX?XB，其
中B????01??40???， 1） 求T在基E?10??01??00??011????00???，E12????00???，E21????10??? ，E22????0阵；
2） 问T的特征值是如何定义的，试说明其合理性并求之； 3） 求R2?2的一组基，使得T在该基下的矩阵为对角阵。
0?1???下的矩
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《矩阵分析》试卷
1. 填空题：（本题20分）
?100???（1）已知A??110?，则A的Jordan标准形J??232????10i???（2）已知A??012?，i??1，则||A||1???i25???，||A||F?。 ||A||2?
.，
???1?8?kkkk?（3）已知A??，且幂级数的收敛半径为6，则矩阵幂级数xA是??kk??21?k?06k?06??，其理由是。
。
（4）设A为n阶方阵，f(?)?|?E?A|，则f(A)?（5）设A(t)????costsint?d?，则A(t)??dt?sintcost???,.
d?1A(t)?dt
,?20A(t)dt?2. （本题10分）在矩阵空间R2?2中，已知P???2??10??，定义变换T: ?1?TX?PXP?1(X?R2?2)
（1）验证T是线性变换；
（2）求T的特征值与特征向量。
3. （本题10分）给定实线性空间V的基e1,e2,?,en，设x,y?V， 在该基下的坐标分别为：(x1,x2,?,xn)T和(y1,y2,?,yn)T， 定义实数(x,y)?x1y1?x2y2??xnyn，证明： （1）实数(x,y)是V的内积；
（2）在该内积下，基e1,e2,?,en是V的标准正交基。 4. （本题10分）设A?(aij)m?n，定义实数||A||G?证明：||A||G是Cm?nnnnnmnmax|aij|，
i,j中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
?1??100?????5.（本题15分）已知A??010?，b(t)??0?
?et??1?22?????
（1）求eAt
Td1??x(t)?Ax(t)?b(t)，x(0)???10??的解。 （2）求dt2???01?1??1??????100???2?b?6.（本题15分）已知A??，， ???21?1?3?????100???2??????（1）求A；
（2）用广义逆矩阵方法判断方程组Ax?b是否有解。 （3）求方程组Ax?b的最小范数解。
7.（本题10分）在多项式空间P2[t]中，设f(t)?k1?k2t?k3t2，
线性变换T为Tf(t)?(k2?k3)?(k1?k3)t?(k1?k2)t2，求P2[t]的一个基，使T在该基下的矩阵为对角阵。
11??30??0?200.1??8（本题10分）已知A??，用Gerschgorin定理
10101????10.110???分离A的特征值，并在复平面上画图表示。