第三单元 反三角函数和简单的三角方程
一、教材分析
本单元的重点是反三角函数的概念，最简三角方程的解集和简单三角方程的解法。反三角函数的概念是本单元的难点。但又是全章的基础。最简三角方程的解集是，是解三角方程的基础与关键，应注意掌握解三角方程的增根、失根和解集的等效性问题是本章的又一个难点。
从题型来看，本单元知识主要以选择题和填空题的形式出现，故在训练中亦将这两种题型作为训练对象。
二、基础训练题 1．选择题：
（１）下列说法正确的是（ ） Ａ．函数y=sinx的反函数为y=arcsinx
??,］上，正弦函数y=sinx才有反函数 22??Ｃ．函数y=arcsinx(x∈［－1，１］与y=sinx(x∈［－,］)图象关于直线y=x对称
22Ｂ．只有在区间［－
Ｄ．函数y=arcsinx的反函数为y=sinx （２）下列等式恒成立有（ ） ①sin(arcsin
??)= 33?(－1≤x≤1) 2②－arcsinx+arcos(-x)=③arctgx=arcctg
1(x≠0) x④arcctgx+arcctg(－x)=π
Ａ．②和③ Ｂ．①和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②③和④ （３）函数y=arcos(x2+x)的值域是（ ）
11,1］ Ｂ．[arcos(－)，０] 4411Ｃ．－arccos，０］ Ｄ．［０，arccos(－)］
44Ａ．［arccos
（４）当－１≤x≤０时，下列等式中，一定成立的是（ ） Ａ．arcsin1?x2=π－arccos(－x) Ｂ．arcsin1?x2π－arccosx Ｃ．arccos1?x2π－arcsin(－x) Ｄ．arccos1?x2π－arcsinx （５）下列命题正确的是（ ）
Ａ．y=arccosx为奇函数 Ｂ．y=cos(arctgx)为偶函数
Ｃ．y=ctg(arcctgx)为偶函数 Ｄ．y=
?－arccosx为奇函数 2（６）若(a+1)(b+1)=2,则arctga+arctgb之值为（ ）
?? Ｂ．－ 44?3??Ｃ．或－? Ｄ．或－
4444?（７）sin2x=sin的解集为（ ）
7??13?Ａ．｛｝ Ｂ．｛，｝
1414141?1?Ｃ．｛x|x=kπ+,(k∈ｚ)｝ Ｄ．｛ｘ｜ｘ＝ｋπ+（－１）k，ｋ∈ｚ｝
2142141?（８）已知｜sinθ｜＝，θ∈（－π，－），则θ可表示为（ ）
321111Ａ．π+arcsin Ｂ．π－arcsin Ｃ．－π+arcsin Ｄ．―π―arcsin
333311(9)sinx=(a+)(a≠±１)的解集是（ ）
2a?Ａ．{x|x=2kπ+，ｋ∈ｚ}
211ｋ
Ｂ．｛ｘ｜ｘ＝ｋπ+（－１）arcsin(a+),k∈Z|
2aＡ．Ｃ．?
Ｄ．依a的取值变化而变化 （１０）方程2cos(
x??)?3=0的解集为（ ） 23Ａ．{x|x=2kπ±π，ｋ∈Ｚ}
2?，ｋ∈Ｚ｝
33?2Ｃ．｛ｘ｜ｘ＝４ｋπ±??，ｋ∈Ｚ｝
33Ｂ．｛ｘ｜ｘ＝２ｋπ±
??Ｄ．｛
?,?｝ 3（１１）若０＜a＜1，在［０，２π］上满足sinx≥a的x取值范围是（ ） Ａ．［０，arcsina］ Ｂ．[arcsina,π－arcsina] Ｃ．[π－arcsina,π] Ｄ．［arcsina,
?+arcsina］ 2（１２）函数y=－cosx(0＜x＜π＝的反函数可写成（ ） Ａ．y=
??+arcsinx Ｂ．y=－arcsinx 22Ｃ．y=π－arcsinx D．y=－arccosx
(13)arccos(sin5)的值是（ ）
3?π Ｂ．－５ 22?5?Ｃ．５－ Ｄ．－５
22111（１４）已知a=arcsin，b=arccos,c=arctg,则有（ ）
333Ａ．５－
Ａ．a＜b＜c Ｂ．c＜a＜b
Ｃ．a＜c＜b Ｄ．b＜c＜a (15)函数y=arccos2x?1的定义域是（ ）
11，] 2211Ｃ．｛x|x∈Ｒ，x≠２ｋπ，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ．［－，cos1］
22Ａ．［－１，cos1］ Ｂ．[－
(16)y=arcsinx+arctgx的值域为（ ） Ａ．［－π，π］ Ｂ．(－π，π) Ｃ．[－
?33，π] Ｄ．［－π，π］
442（１７）arctg(ctg3)=( )
A．
?－3 2B．
?3 C． D．3
63（１８）y=3arccos(x－2)的反函数为（ ）
xx+2),x∈［０，２π］ Ｂ．y=cos＋２，x∈［０，３π］ 33xxＣ．y=cos＋２，x∈［０，２π］ Ｄ．y=cos－２,ｘ∈［０，３π］
33Ａ．y=cos(
（１９）方程sin2x＝sinx在［０，２x］内解的个数为（ ）
Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 20.使arcsin2x＞arccos2x成立的x取值范围是 A.[0，
1] 2 B.[-1，
2] 2C.[-
12，] 24 D.[-
1，0] 221.方程3tg(2x-Ａ．｛x|x=
π)=3的解集是（ ） 31?kπ+，ｋ∈Ｚ｝ 261?Ｂ．{x|x=kπ+，ｋ∈Ｚ}
24?，ｋ∈Ｚ} 4k???，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ．｛ｘ｜ｘ＝23Ｃ．{x|x=kπ+
（２２）下列函数
①y=cos(arcsinx)与y=sin(arccosx) ②y=sin(arcsinx)与y=cos(arccosx) ③y=arcsin(sinx)与y=arcos(cosx) ④y=arcsin(cosx)与y=arcos(sinx) 表示同一函数的有（ ）
Ａ．１组 Ｂ．２组 Ｃ．３组 Ｄ．４组
参考答案
1．选择题
CADBD CDCCC BADBD DABCC BBBAD CDDCA 2．填空题 （1）?2?1??7?12?) （3） （2）y?ty(x?)??x?(, （4）
236625343???k? （7）15° （8）?x│x?k??(?1)???k?Z? 444?（5）－1 （6）
（9）?????2?10???,1? （10）?,?? （11）4π－π2 （12）? （13）
102?10?6?（14）
? （15）9π 63．解答题
（1）解：令arccosx=t，则t?[0,π]，且x=cost，从而f(t)=cos2t+2acost 而f(x)=cos2x+2acosx
=(cosx+a)2－a2 (0≤x≤π) 当－1≤a≤1时，f(x)min=－a2 由－a2=－3知a=±3?[?1,1]舍去 当a＞1时，f(x)min=1－2a
由1－2a=－3知a=2 适合题意 当a＜－１时，f(x)min=1+2a
由1+2a=－3时知a=－2 适合题意 综上知，所求a值为±2． （2）解：原方程为(sinx?31)(sinx?)?0 22∴sinx=
31或sinx??． 22k∴x?k??(?1)·或x?k??(?1)(??k?63)??k?Z
∴原方程的解集为?x│x?k??(?1)k??或x?k??(?1)k??(k?Z)? ?3（3）原方程整理为
(cosx－sinx)(1+sinxcosx)－(1+sinxcosx)=0 而 (1+sinxcosx)(cosx-sinx-1)=0 ∴sinxcosx=－1 或 sinx－cosx=1 而 sin2x=－2（舍去） 或 2sin(x－
?4)=1 ∴x－
?4=kπ+(－１)k?4 (k?Z) 而 x=kπ+(－１)k?4＋?4 （k?Z）
∴原方程的解集为??x│x?k??(?1)k???4?4??（4）解：原方程可化简为
sin2x－3sin2x=－１ ∴10sin(2x?acrtg3)??1
∴sin(2x-arctg3)=
1010 ∴2x-arctg3=kπ－（－１）kacrsin1010 ∴原方程的解集为
??x│x?k??(?1)k·1arcsin10?1arctg3?22102（5）解：令sinx+cosx=t，则t?[?2,2]
且sinxcosx=t2?12
故原方程为3t－2t2+2=0 即2t2－3t+2=0 ∴t=－
12 或 t＝２(舍去) 6?k?Z??? (k?Z)?? ???即sin(x+
?2)=－ 442?－ (k?Z) 44∴x=kπ－（－１）kcossin故原方程的解集为
??2?kx│x?k??(?1)arcsin???(k?Z)??
?
44?