专题突破(八) 代数综合
方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分．代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等．
2011－2015年北京代数综合题考点对比 年份 2011 2012 2013 2014 2015 根的判别式、求根、确定二次函数和一二次函数的根的判别式、次函数解析性质、一次函求根、确定二式、二次函数数图象如何次函数和一和一次函数变换、二次函次函数解析图象的平移、数图象上点式 利用函数图的坐标特征 象求取值范围 考点 确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利用图象求取值范围 求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标，利用图象求取值范围 1．[2015·北京] 在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标；
(3)若抛物线C2：y＝ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象求a的取值范围．
2．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)．
(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；
(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
3．[2013·北京] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的函数解析式；
(3)若该抛物线在－2 3 4．[2012·北京] 已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋在x＝0和x＝2时的函数值相等． 2(1)求二次函数的解析式； (2)若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A(－3，m)，求m和k的值； (3)设二次函数的图象与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n＞0)个单位长度后得到的图象记为G，同时将(2)中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位长度．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围． 图Z8－1 5．[2011·北京] 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m>0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C. (1)求点A的坐标； (2)当∠ABC＝45°时，求m的值； (3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n，0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m>0)的图象于点N.若只有当－2 图Z8－2 1 1．[2015·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－x＋2与y轴交于点A， 2顶点为B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线BC的函数解析式； (2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为4.将抛物线在点A，D之间的部分(包含点A，D)记为图象G，若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围． 图Z8－3 2．[2015·朝阳一模] 如图Z8－4，将抛物线M1：y＝ax2＋4x向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M2，直线y＝x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是－3. (1)求a的值及M2的函数解析式． (2)点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时，直线y＝x＋n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值； ②在点C的运动过程中，若直线y＝x＋n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围(直接写出结果)． 图Z8－4 3．[2015·西城一模] 已知二次函数y1＝x2＋bx＋c的图象C1经过(－1，0)，(0，－3)两点． (1)求C1对应的函数解析式； (2)将C1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C2，将C2 对应的函数解析式记为y2＝x2＋mx＋n，求C2对应的函数解析式； (3)设y3＝2x＋3，在(2)的条件下，如果在－2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3 ．．成立，利用函数图象直接写出a的取值范围． 图Z8－5 4．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋1(a≠0)过点A(－1，0)，B(1，1)，与y轴交于点C. (1)求抛物线y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的函数解析式． (2)若点D在抛物线y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标． (3)在抛物线y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的对称轴上是否存在点P，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图Z8－6 5．[2015·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－3(m≠0)与x轴交于A(3，0)，B两点． (1)求抛物线的函数解析式及点B的坐标； (2)将－2 (3)在(2)的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C(4，2)的直线y＝kx＋b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围． 6．[2015·通州一模] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一次函数y1＝x＋k的图象交于A(0，1)，B两点，C(1，0)为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和一次函数y1＝x＋k的图象； (3)把(1)中的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2＝ax2＋bx＋c＋m(a≠0，m为常数)的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1，y2中的较小值；如果y1＝y2，函数f的函数值等于y1(或y2)．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围． 7．[2015·海淀二模] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于点B，C(点B在点C左侧)． (1)求该抛物线的函数解析式及点B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx＋b经过点D和点E(－1，－2)，求直线DE的函数解析式； (3)在(2)的条件下，已知点P(t，0)，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围． 图Z8－7