第四章练习题及参考解答
4.1 假设在模型Yi??1??2X2i??3X3i?ui中，X2与X3之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：
Yi??1??2X2i?u1iYi??1??3X3i?u2i
?且?????？为什么？ ?2??(1)是否存在?233?1或??1或两者的某个线性组合吗？ (2)??1会等于?
??var????var????？ ?2?且var? (3)是否有var?233????练习题4.1参考解答：
???且?????。 因为??2??(1) 存在?2233??yix2i??x3i?2???x22i???yx???x???x????xx?i3i23i22i3i2ix3i?
当X2与X3之间的相关系数为零时，离差形式的?x2ix3i?0
??有?2??yx???x??yx???x???x??xi2i23ii22i23i2i22i? ?2 同理有：??3????3?会等于??1或??1的某个线性组合 (2) ?1??Y???X因为 ?122?1?Y???2X2，??1?Y???3X3 ????3X，且32?且?????，则 ??2??由于??1?Y???2X233?Y???3X???Y???2X2???1Y?? ?2X2?3X ??1?Y??33Y???1? 3X3?1Y??Y???1则 ??1?Y???2X2???3X3?Y??1???1?Y X2?X3??X2X3??var????var????。 ?2?且var?(3) 存在var?233??因为var?2???????22i2223?x?1?r?
2223222i当r23???0时，var?2???22i?x?1?r??x???2? ?var????var???? 同理，有var?33??
1
4.2在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变量的程序(逐步向前回归)，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归)。加进或剔除一个变量，通常是根据F检验看其对ESS的贡献而作出决定的。根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？
练习题4.2参考解答：
根据对多重共线性的理解，逐步向前和逐步向后回归的程序都存在不足。逐步向前法不能反映引进新的解释变量后的变化情况，即一旦引入就保留在方程中；逐步向后法则一旦某个解释变量被剔出就再也没有机会重新进入方程。而解释变量之间及其与被解释变量的相关关系与引入的变量个数及同时引入哪些变量而呈现出不同，所以要寻找到“最优”变量子集则采用逐步回归较好，它吸收了逐步向前和逐步向后的优点。
4.3 下表给出了中国商品进口额Y、国内生产总值GDP、居民消费价格指数CPI。
表4.11 中国商品进口额、国内生产总值、居民消费价格指数
资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社2000年、2008年。
年份 (亿元) (亿元) 9016.0 10275.2 12058.6 15042.8 16992.3 18667.8 21781.5 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.6 78973.0 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183084.8 211923.5 249529.9 (1985=100) 100.0 106.5 114.3 135.8 160.2 165.2 170.8 181.7 208.4 258.6 302.8 327.9 337.1 334.4 329.7 331.0 333.3 330.6 334.6 347.7 353.9 359.2 376.5 1985 1986 1257.8 1498.3 1614.2 2055.1 2199.9 2574.3 3398.7 4443.3 5986.2 9960.1 11048.1 11557.4 11806.5 11626.1 13736.4 18638.8 20159.2 24430.3 34195.6 46435.8 54273.7 63376.9 73284.6 商品进口额 国内生产总值 居民消费价格指数请考虑下列模
t型
P?uiI
：
lnYt??1＋?2lnGD??PlnCt31987 1988 1989 1)利用表中数据估计此模型的参数。 2)你认为数据中有多重共线性吗？ 3)进行以下回归：
lnYt?A1＋A2lnGDPt?v1ilnYt?B1＋B2lnCPIt?v2ilnGDPt?C1?C2lnCPIt?v3i1990 1991 1992 1993
1994 1995 1996 1997 根据这些回归你能对数据中多重
共线性的性质说些什么？
?和??在5%4)假设数据有多重共线性，但?231998 1999 2000 水平上个别地显著，并且总的F检验也是显著的。对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？
练习题4.3参考解答：
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2
(1) 参数估计结果如下
ln(进口)??3.060?1.657ln(GDP)?1.057ln(CPI) (0.337) (0.092) (0.215)R?0.992 R?0.991 F?1275.09322(括号内为标准误)
(2)居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且且CPI与进口之间的简单相关系数呈现正向变动。可能数据中有多重共线性。
计算相关系数:
(3)最大的CI=108.812，表明GDP与CPI之间存在较高的线性相关。 (4)分别拟合的回归模型如下：
lnY??4.0907?1.2186ln(GDP) t= (-10.6458) (34.6222)
R?0.9828 R?0.9820 F?1198.69822
3
lnY??5.4424?2.6637ln(CPI) t= (-4.3412) (11.6809)R?0.8666 R?0.8603 F?136.443722
ln(GDP)??1.4380?2.2460ln(CPI) t=(-1.9582) (16.8140)R?0.9309 R?0.9276 F?282.710722
单方程拟合效果都很好，回归系数显著，可决系数较高，GDP和CPI对进口分别有显著的单一影响，在这两个变量同时引入模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数的分析才能发现。
(5)如果仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意。
4.4 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造解释变量数据矩阵X才可能避免多重共线性的出现？ 练习题4.4参考解答：
本题很灵活，主要应注意以下问题:
(1)选择变量时要有理论支持，即理论预期或假设；变量的数据要足够长，被解释变量与解释变量之间要有因果关系，并高度相关。
（2）建模时尽量使解释变量之间不高度相关，或解释变量的线性组合不高度相关。
4.5 克莱因与戈德伯格曾用1921-1950年(1942-1944年战争期间略去)美国国内消费Y和工资收入X1、非工资—非农业收入X2、农业收入X3的时间序列资料，利用OLSE估计得出了下列回归方程：
??8.133?1.059X1?0.452X2?0.121X3Y (8.92) (0.17) (0.66) (1.09) R2
?0.95 F?107.37括号中的数据为相应参数估计量的标准误差。试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。
练习题4.5参考解答：
从模型拟合结果可知，样本观测个数为27，消费模型的判定系数R?0.95，F统计量为107.37，在0.05
4
2
置信水平下查分子自由度为3，分母自由度为23的F临界值为3.028，计算的F值远大于临界值，表明回归方程是显著的。模型整体拟合程度较高。
依据参数估计量及其标准误，可计算出各回归系数估计量的t统计量值：
t0?8.1338.92?0.91,t1?1.0590.17?6.10,t2?0.4520.66?0.69,t3?0.1211.09?0.11除t1外，其余的tj值都很小。工资收入X1的系数的t检验值虽然显著，但该系数的估计值过大，该值为工资收入对消费边际效应，因为它为1.059，意味着工资收入每增加一美元，消费支出的增长平均将超过一美元，这与经济理论和常识不符。
另外，理论上非工资—非农业收入与农业收入也是消费行为的重要解释变量，但两者的t检验都没有通过。这些迹象表明，模型中存在严重的多重共线性，不同收入部分之间的相互关系，掩盖了各个部分对解释消费行为的单独影响。
4.6 理论上认为影响能源消费需求总量的因素主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技术等因素。为此，收集了中国能源消费总量Y (万吨标准煤)、国民总收入(亿元)X1(代表收入水平)、国内生产总值 (亿元)X2(代表经济发展水平)、工业增加值(亿元)X3、建筑业增加值(亿元)X4、交通运输邮电业增加值(亿元)X5(代表产业发展水平及产业结构)、人均生活电力消费 (千瓦小时)X6(代表人民生活水平提高)、能源加工转换效率(%)X7(代表能源转换技术)等在1985-2007年期间的统计数据，具体如表4.2所示。
表4.12 1985~2007年统计数据
年份 能源消费 y 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 76682 80850 86632 92997 96934 98703 103783 109170 115993 122737 131176 138948 137798 132214 133831 138553 143199 151797 174990 203227 国民 总收入 X1 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260 48108.5 59810.5 70142.5 77653.1 83024.3 88189 98000.5 国内生 产总值 X2 9016 10275.2 12058.6 15042.8 16992.3 18667.8 21781.5 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.6 78973 84402.3 89677.1 99214.6 工业 增加值 X3 3448.7 3967 4585.8 5777.2 6484 6858 8087.1 10284.5 14188 19480.7 24950.6 29447.6 32921.4 34018.4 35861.5 4003.6 43580.6 47431.3 54945.5 65210 建筑业 交通运输邮电 人均生活 增加值 X4 417.9 525.7 665.8 810 794 859.4 1015.1 1415 2266.5 2964.7 3728.8 4387.4 4621.6 4985.8 5172.1 5522.3 5931.7 6465.5 7490.8 8694.3 增加值 X5 406.9 475.6 544.9 661 786 1147.5 1409.7 1681.8 2205.6 2898.3 3424.1 4068.5 4593 5178.4 5821.8 7333.4 8406.1 9393.4 10098.4 12147.6 电力消费 X6 21.3 23.2 26.4 31.2 35.3 42.4 46.9 54.6 61.2 72.7 83.5 93.1 101.8 106.6 118.2 132.4 144.6 156.3 173.7 190.2 能源加工 转换效率 X7 68.29 68.32 67.48 66.54 66.51 67.2 65.9 66.00 67.32 65.2 71.05 71.5 69.23 69.44 69.19 69.04 69.03 69.04 69.4 70.71 108068.2 109655.2 119095.7 120332.7 135174 135822.8 159586.7 159878.3 5