第三章 中学数学的逻辑基础
第五节 数学证明
数学证明是应用已经确定其真实性的命题来论证某一命题真实性的思维推理过程。其过程往往表现为一系列的推理。
从逻辑结构方面分析，任何证明都是由论题、论据、论证三个部分组成的。论题是需要证明其真实性的命题，论据是用来证明论题真实性所引用的那些已知真实的命题，论证就是由论据出发进行一系列推理来证明论题真实性的过程。
数学证明习惯上分为已知、求证、证明三个部分。其中“求证”的内容就是论题；“证明”的过程就是论证；“已知”的内容则是论据的一部分，因为论据还包括在论证过程中需要引用的其它真命题（如定义、公理和定理）。
关于证明格式，基本且常用的有联用式与推进式两种。联用式是联用“∵、∴”表示推理关系的书写格式（见本节例1-5），推进式是借用符号“”表示蕴含关系或推理关系的书写格式，且都可分为横、竖两种形式。
上一节所介绍的归纳推理、类比推理与演绎推理，实际上就是证明中的归纳法、类比法、演绎法。现在将常用的几种证明方法简要介绍于下。
一.分析法与综合法
在数学证明中，如果推理方向是从求证追溯到已知，或者说是从未知到已知，这种思考方法叫做分析法。反之，如果推理的方向是从已知到求证，或者说从已知到未知，这种思考方法叫做综合法。 例1 已知a、b是不等的正数，求证：a3+b3＞a2b+ab2。 证明一分析法
欲证a3+b3＞a2b+ab2，
只需证（a+b）（a2—ab+b2）＞ab（a+b）。 ∵a＞0，b＞0，a+b＞O ∴只需证a2—ab+b2＞ab，
即（a–b）2＞0，而这是显然成立。 故a3+b3＞a2b+ab2。 证明二综合法
∵a≠b，∴a--b≠0，（a–b）2＞0， 即a2—2ab+b2＞0，a2—ab+b2＞ab。 又a＞0，b＞0，a+b＞O，
∴（a+b）（a2—ab+b2）＞ab（a+b）， 从而a3+b3＞a2b+ab2。
二.直接证法与间接证法
在数学证明中，从正面证明论题真实性的证明方法，叫做直接证法。凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法。它是中学数学中常用的证明方法。不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题不真实，或者证明它的等价命题成立，从而肯定论题真实的证明方法，叫做间接证法。间接证法主要有反证法与同一法。 1.反证法。通过证明论题的否定论题不真实，从而肯定论题真实的方法，叫做反证法。反证法有归谬法与穷举法两种。 反证法的一般步骤如下：
（1）假设命题的结论不成立（即结论的否定成立）；
（2）从否定结论出发，进行层层推理，得出与公理，或前述的定理、定义或题设条件，或与临时假设等自相矛盾（即说明结论不能否定）； （3）根据排中律，最后肯定原命题成立。
在应用反正法时，如果命题结论的否定方面只有一种可能情况，那么，只要把这一情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法（见例2）。如果命题的结论的否定方面不只一种情况，那就必须把否定方面所有的可能情况逐一驳倒，才能肯定结论成立，这种反证法叫做穷举法（见例3）。 例2 ?求证：cos10°是无理数。
证明：假设cos10°是有理数，记cos10°=（p、q为互质数）。则cos30°=4cos310°-3cos10°=4（）3－3（）是一有理数，而cos30°=数。
是一无理数，与已作假设相矛盾，故cos10°是无理
例3 ?如图3-9所示，在ΔABC 中，已知BE和CF分别是∠B与∠C 的平分线，且BE=CF，求证：AB=AC。 证明：如果AB≠AC，那么，就有 AB＞AC或AB＜AC两种情况，作平行 四边形BEGF，连结CG。
1. 假设AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC， ∴∠BCF＞∠CBE，BF＞CE，
∵BF=EG，∴EG＞CE，∠ECG＞∠EGC。 又∠FCG=∠FGC，∴∠FCE＜∠FGE=∠FBE。
则∠ACB＜∠ABC（自相矛盾），即AB＞AC不可能。 （2）同理可证，AB＜AC的情况是不可能的。 ∴AB=AC。
2.同一法。如前所述，两个互逆或互否的命题不一定是等价的，只有一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念时，该命题与其逆命题（或否命题）才等价，这个原理叫做同一原理。对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证与它等价的逆命题，这种证明方法叫做同一法。 同一法的一般步骤如下：
（1）当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出（设定）符合命题结论的图形（算式）；
（2）证明所作图形（或设定的算式）符合已知条件；
（3）根据唯一性，确定所作图形（或设定的算式）与已知图形重合（或与已知关系式相同）； （4）最后肯定原命题成立。 例4? 求证：lg（
+
）=。
证明：因为等式两边都是唯一存在的实数，可考虑选用同一法。 令lg（
+
）=t，则10t=
+
，
两边平方，得102t=6+2∴lg（
+
-5=10，2t=1，t=。
）=。
例5? ?如图3-10所示，已知△ABC
的垂心是H，中线AM的延长线交⊙HBC 于G，求证：M是AG的中点。
分析：因为直线AM与⊙HBC除公共点 K外，另一公共点G是唯一的，又在射线 AM上，使MG=AM的点G也是唯一的，因 此可用同一法。在射线AM上取点G′，使 MG′=AM，只要证明G′与G点重合即可。
证明：在射线AM上取点G′，使MG′=AM，连G′B、G′C。 ∵MB=MC，∴ABG′C是平行四边形，∠BG′C=∠BAC。 ∵A、F、H、E共圆，∠BAC+∠BHC=180°，
∴∠BG′C+∠BHC=180°。
因此，B、G′、C、H也共圆，即G′点也在⊙HBC上， 又直线AM与⊙HBC除公共点K外，另一公共点G是唯一的，于是G′与G重合，从而M是AG的中点。
反证法与同一法都是间接证法。它们的主要区别是：
（1）方法不同。反证法先否定结论，然后再予以反驳；同一法先作出（设定）符合命题结论的图形（或算式），然后推证所作图形（算式）与已知图形相同（关系式相同）。
（2）根据不同。反证法的逻辑依据是排中律，利用原命题与其逆否命题的等价性来证明的；同一法的逻辑依据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明的。
（3）适用范围不同。反证法是从否定命题的结论出发，只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定是由于图形（或关系式）的“唯一存在性”引起的。因此，反证法可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则的命题。 将以上内容归纳起来就是： 完全归纳法
归纳法
按推理的方式类比法不完全归纳法 演绎法
分析法
推证通法按思维的思路 综合法
直接证法归谬法
按证明的方法反证法
间接证法穷举法 同一法
反思与探究：本章介绍了中学数学教师应该掌握的形式逻辑的有关基础知识。数学作为形式化的科学，具有严密的逻辑性。但是，中学生的年龄和心理特征要求中学数学教学对逻辑严谨性的要求不能过高。如果在数学教学中用太多的时间去强调逻辑的严密性，留给学生进行开放性学习的时间就会很少，也不利于对学生创新意识的培养。为此，下面问题值得我们认真研究。
1．在中学数学教育中，如何做到不过多的强调形式化，学生又能够掌握数学知识的实质？
2．在中学数学教育中，针对学生今后择业的不同对数学的需要也有所不同，在逻辑的严谨性方面，应采取怎样的教学措施使他们各得其所？ 复习思考题三
11.什么是证明？数学中常用哪些证明方法？举例说明。
卡拉